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468 CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas de ángulos
La trigonometría del ángulo recto tiene muchas otras aplicaciones, desde determinar
la estructura celular óptima en una colmena (ejercicio 67, página 497) hasta explicar
la forma de un arco iris (ejercicio 69, página 498). En Enfoque en el modelado,
páginas 522 y 523, se ve cómo un topógrafo emplea la trigonometría para trazar el
mapa de una ciudad.
6.1 Medida angular
Un ángulo AOB, consta de dos rayos R 1 y R 2 con un vértice común O (véase la
figura 1). A menudo se interpreta un ángulo como una rotación del rayo R 1 sobre R 2 .
En este caso, R 1 se llama el lado inicial y R 2 se llama el lado terminal del ángulo. Si
la rotación es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, se considera positivo
al ángulo, y si la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, se considera que
el ángulo es negativo.
lado
terminal
O
R¤
B
A
lado inicial
ángulo positivo
R⁄
R¤
B
O lado inicial
A
lado terminal
ángulo negativo
R⁄
Figura 1
Medida angular
La medida de un ángulo es la cantidad de rotación respecto al vértice requerida para
mover R 1 sobre R 2 . De manera intuitiva, esto es cuánto se “abre” el ángulo. Una unidad
de medida para ángulos es el grado. Un ángulo de medida 1 se forma al rotar el lado
1
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inicial de una revolución completa. En cálculo y otras ramas de las matemáticas,
se usa un modo más natural de medir ángulos, la medida en radianes. La cantidad
que se abre un ángulo se mide a lo largo del arco de un círculo de radio 1 con su centro
en el vértice del ángulo.
Figura 2
1
¨
Medida
de ¨ en
radianes
Definición de medida en radianes
Si un círculo de radio 1 se traza con el vértice de un ángulo en su centro, entonces
la medida de este ángulo en radianes (abreviado rad) es la longitud
del arco que subtiende el ángulo (véase la figura 2).
La circunferencia del círculo de radio 1 es 2p y, por lo tanto, una revolución completa
tiene medida 2p rad, un ángulo llano tiene medida p rad y un ángulo recto tiene