7nxQnvJSe

SECCIÓN 10.4 Cónicas desplazadas 781
_2
0 x
Figura 7
9x 2 y 2 18x 6y 0
y
6
Solución Debido a que los coeficientes de x 2 y y 2 son de signo opuesto, esta
ecuación parece como si debiera representar una hipérbola (como la ecuación
del ejemplo 3). Para ver si éste es de hecho el caso, se completan los cuadrados:
9 1x 2 2x 2 1y 2 6y 2 0
Agrupe términos y
factorice 9
9 1x 2 2x 12 1y 2 6y 92 0 9 # 1 9
9 1x 12 2 1y 32 2 0
1y
1x 12 2 322
0
9
Complete el cuadrado
Factorice
Divida entre 9
Para que se ajuste a la forma de la ecuación de una hipérbola, sería necesaria una
constante no cero a la derecha del signo igual. De hecho, el análisis siguiente muestra
que es la ecuación de un par de líneas que se cortan:
1y 32 2 91x 12 2
y 3x 6
y 3 31x 12
Estas líneas se grafican en la figura 7.
Tome las raíces cuadradas
y 31x 12 3 o y 31x 12 3
Debido a que la ecuación del ejemplo 4 se parece en primera instancia a la ecuación
de una hipérbola pero, de hecho, resulta representar simplemente un par de líneas,
se hace referencia a esta gráfica como una hipérbola degenerada. Las elipses e hipérbolas
degeneradas surgen también cuando se completan el(los) cuadrado(s) en
una ecuación que al parecer representa una cónica. Por ejemplo, la ecuación
4x 2 y 2 8x 2y 6 0
parece como si representara una elipse, porque los coeficientes de x 2 y y 2 tienen el
mismo signo. Pero completar el cuadrado conduce a
1y
1x 12 2 122
4
y 3x
1
4
que no tiene solución (puesto que la suma de dos cuadrados no puede ser negativa).
Por lo tanto, esta ecuación es degenerada.
■
10.4 Ejercicios
1–4 ■ Encuentre el centro, focos y vértices de la elipse y determine
las longitudes de los ejes mayor y menor. Luego bosqueje
la gráfica.
1x 22 2 1y 122 1x 32 2
1. 1 2. 1y 32 2 1
9 4
16
x 2 1y 522
1x 22 2
3. 1 4. y 2 1
9 25
4
5–8 ■ Halle el vértice, foco y directriz de la parábola y bosqueje
la gráfica.
5. 1x 32 2 81y 12 6. 1y 52 2 6x 12
7. 4Ax 1 2B 2 y
8. y 2 16x 8
9–12 ■ Encuentre el centro, focos, vértices y las asíntotas de la
hipérbola. Luego bosqueje la gráfica.
9.
10.
11.
12.
1x 12 2 1y 322
1
9 16
1x 82 2 1y 62 2 1
1x
y 2 122
1
4
1y 12 2
1x 32 2 1
25