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380 CAPÍTULO 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
6. Población de ranas La población de ranas en un estanque
pequeño crece de forma exponencial. La población actual
es de 85 ranas y la tasa de crecimiento relativa es 18%
por año.
a) Encuentre una función que modela la población después
de t años.
b) Encuentre la población proyectada después de tres años.
c) Calcule el número de años requerido para que la
población de ranas llegue a 600.
7. Población de venados En la gráfica se muestra la población
de venados en un condado de Pennsylvania entre
1996 y 2000. Suponga que la población crece de forma
exponencial
a) ¿Cuál es la población de venados en 1996?
b) Encuentre una función que modele la población de venados
t años después de 1996.
c) ¿Cuál es la población de venados proyectada en 2004?
d) ¿En qué año la población de venados llega a 100 000?
Población
de venados
n(t)
30 000
20 000
10 000
(4 31 000)
0 1 2 3 4
Años desde 1996
8. Cultivo de bacterias Un cultivo contiene 1500 bacterias
al inicio y se duplica cada 30 minutos.
a) Encuentre una función que modele el número de bacterias
n1t2 después de t minutos.
b) Calcule el número de bacterias después de dos horas.
c) ¿Después de cuántos minutos el cultivo contendrá 4000
bacterias?
9. Cultivo de bacterias Un cultivo comienza con 8600 bacterias.
Después de una hora la cuenta es 10 000.
a) Encuentre una función que modele el número de bacterias
n1t2 después de t horas.
b) Encuentre el número de bacterias después de dos horas.
c) ¿Después de cuántas horas se duplica el número de bacterias?
10. Cultivo de bacterias La cuenta en un cultivo de bacterias
fue 400 después de dos horas y 25 600 después de seis horas.
a) ¿Cuál es la tasa relativa de crecimiento de la población
de bacterias? Exprese su respuesta como un porcentaje.
b) ¿Cuál fue el tamaño inicial del cultivo?
t
c) Encuentre una función que modele el número de bacterias
n1t2 después de t horas.
d) Calcule el número de bacterias después de 4.5 horas.
e) ¿Cuándo el número de bacterias será 50 000?
11. Población mundial La población del mundo fue 5.7
miles de millones en 1995 y la tasa de crecimiento relativa
observada fue 2% por año.
a) ¿En qué año se habrá duplicado la población?
b) ¿En qué año se habrá triplicado la población?
12. Población de California La población de California fue
10 586 223 en 1950 y 23 668 562 en 1980. Suponga que la
población crece en forma exponencial.
a) Encuentre una función que modele la población t años
después de 1950.
b) Determine el tiempo requerido para que se duplique la
población.
c) Use la función del inciso a) para predecir la población
de California en el año 2000. Busque el dato de la
población real de California en 2000 y compare.
13. Bacterias infecciosas Una cepa infecciosa de bacterias
se incrementa a una tasa de crecimiento relativa de 200%
por hora. Cuando cierta cantidad crítica de bacterias está
presente en el torrente sanguíneo, una persona se enferma.
Si una sola bacteria infecta a una persona, la concentración
crítica se alcanza en 24 horas. ¿Cuánto tiempo toma alcanzar
la concentración crítica si la persona es infectada con 10
bacterias?
14–22 ■ En estos ejercicios se emplea el modelo de decaimiento
radiactivo.
14. Radio radiactivo La vida media del radio 226 son 1600
años. Suponga que tiene una muestra de 22 mg.
a) Encuentre una función que modele la masa restante después
de t años.
b) ¿Qué cantidad de la muestra queda después de 4000 años?
c) ¿Después de cuánto tiempo quedan solamente 18 mg de
muestra?
15. Cesio radiactivo La vida media del cesio 137 son 30
años. Suponga que se tiene una muestra de 10 g.
a) Encuentre una función que modele la masa restante después
de t años.
b) ¿Qué cantidad de la muestra queda después de 80 años?
c) ¿Después de cuánto tiempo sólo quedarán 18 mg de la
muestra?
16. Torio radiactivo La masa m1t2 restante después de t días
de una muestra de 40 g de torio 234 está dada por
m1t2 40e 0.0277t
a) ¿Después de 60 días cuál es la cantidad de muestra
restante?
b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que sólo queden
10 g de la muestra?
c) Calcule la vida media del torio 234.
17. Estroncio radiactivo La vida media del estroncio 90 son
28 años. ¿Cuánto tiempo tarda una muestra de 50 mg en
desintegrarse a una masa de 32 mg?