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754 CAPÍTULO 10 Geometría analítica
Al dividir cada lado entre 4 y elevar de nuevo al cuadrado, se obtiene
a 2 31x c2 2 y 2 4 1a 2 cx2 2
a 2 x 2 2a 2 cx a 2 c 2 a 2 y 2 a 4 2a 2 cx c 2 x 2
1a 2 c 2 2x 2 a 2 y 2 a 2 1a 2 c 2 2
Puesto que la suma de las distancias de P a los focos debe ser mayor que la distancia
entre ellos, se tiene que 2a 2c, o a c. Por consiguiente, a 2 c 2 0, y se puede
dividir cada lado de la ecuación precedente entre a 2 1a 2 c 2 2 para obtener
x 2
a
y2
2 a 2 c 1 2
Por conveniencia sea b 2 a 2 c 2 (con b 0). Puesto que b 2 a 2 , se deduce que
b a. Así, la ecuación precedente se convierte en
x 2
a 2 y2
b 2 1 con a b
Esta es la ecuación de la elipse. Para graficarla, es necesario conocer las intersecciones
con los ejes x y y. Si se establece que y 0, se obtiene
x 2
a 2 1
por lo tanto, x 2 a 2 , o bien, x ±a. Así, la elipse cruza el eje x en 1a, 02 y 1a, 02,
como en la figura 4. Estos puntos se llaman vértices de la elipse, y el segmento que
los une se llama eje mayor. Su longitud es 2a.
Figura 4
x 2
a 2 y2
b 2 1 con a b
(_a, 0)
y
(0, b)
a
b
0 c
(_c, 0) (c, 0)
(0, _b)
(a, 0)
x
De manera similar, si se establece que x 0, se obtiene y b, por lo tanto la
elipse cruza el eje y en 10, b2 y 10, b2. El segmento que une a estos puntos se llama eje
menor, y tiene longitud 2b. Hay que observar que 2a 2b, así que el eje mayor es
más largo que el eje menor. El origen es el centro de la elipse.
Si los focos de la elipse se colocan sobre el eje y en 10, c2 y no sobre el eje x,entonces
se invierten los papeles de x y y en la descripción anterior, y se obtiene una
elipse vertical.
Las órbitas de los planetas son elipses,
con el Sol en uno de los focos.
Ecuaciones y gráficas de elipses
En el siguiente cuadro se resume lo que se ha demostrado acerca de la ecuación y características
de una elipse centrada en el origen.