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444 CAPÍTULO 5 Funciones trigonométricas de números reales
El símbolo v es la letra griega minúscula
omega y n es la letra griega “nu”.
Observe que las funciones
y a sen 2pnt y y a cos 2pnt
tienen frecuencia n, porque 2pn/12p2 n. Como podemos leer inmediatamente la
frecuencia de estas ecuaciones, las ecuaciones de movimiento armónico simple
usualmente se expresan de esta forma.
Ejemplo 1
Un resorte en vibración
El desplazamiento de una masa que pende de un resorte está modelado por la función
y 10 sen 4pt
donde y está en pulgadas y t es segundos (véase figura 3).
Posición
de reposo
Figura 3
y0
a) Determine amplitud, periodo y frecuencia del movimiento de la masa.
b) Grafique el desplazamiento de la masa.
Solución
a) De acuerdo con las fórmulas de amplitud, periodo y frecuencia, tenemos
amplitud 0 a 0 10 pulgadas
y
10
y=10 sen 4πt
periodo 2p v 2p
4p 1 2 s
frecuencia v
2p 4p
2p 2 Hz
0
_10
Figura 4
1
2
1
3
2
2
t
b) La gráfica del desplazamiento de la masa en el tiempo t se muestra en la
figura 4.
Una situación importante donde se presenta el movimiento armónico simple es en
la generación del sonido. El sonido se produce por una variación regular en la presión
del aire a partir de la presión normal. Si la presión varía según un movimiento armónico
simple, entonces se genera un sonido puro. El tono del sonido depende de la frecuencia
y la intensidad depende de la amplitud.
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Ejemplo 2
Vibraciones de una nota musical
Un músico toca con una tuba la nota mi y sostiene el sonido durante un
tiempo. Para una nota mi pura la variación en la presión a partir de la presión
normal de aire está dada por
V1t2 0.2 sen 80pt
donde V se mide en libras por pulgada cuadrada y t en segundos.
a) Calcule la amplitud, periodo y frecuencia de V.
b) Grafique V.
c) Si el músico que toca la tuba aumenta la intensidad de la nota, ¿qué tanto se modifica
la ecuación de V?
d) Si el músico toca la nota incorrectamente y un poco apagada ¿en qué cambia la
ecuación para V?