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SECCIÓN 10.6 Ecuaciones polares de cónicas 795
10.6 Ecuaciones polares de cónicas
Al comienzo de este capítulo se definió una parábola en términos de un foco y una
directriz, pero se definió a la elipse y la hipérbola en términos de dos focos. En esta
sección se da un tratamiento más unificado de los tres tipos de cónicas en términos
de un foco y directriz. Si se coloca el foco en el origen, entonces una sección cónica
tiene una ecuación polar simple. Además, en forma polar, la rotación de cónicas es
un asunto más simple. Las ecuaciones polares de las elipses son cruciales en la derivación
de las leyes de Kepler (véase la página 780).
Descripción equivalente de cónicas
Sea F un punto fijo (el foco), / una línea fija (la directriz) y e un número positivo
fijo (la excentricidad). El conjunto de los puntos P tales que la relación
de la distancia de P a F a la distancia de P a / es la constante e es una cónica.
Es decir, el conjunto de los puntos P tales que
d1P, F2
e
d1P, /2
es una cónica. La cónica es una parábola si e 1, una elipse si e 1 o una
hipérbola si e 1.
y
F
P
r
¨
r ç ¨
(directriz)
x=d
x
■ Demostración Si e 1, entonces d1P, F2 d1P, /2, y por lo tanto, la condición
dada es la definición de una parábola como se da en la sección 10.1.
Ahora, suponga que e 1. Colóquese el foco F en el origen y la directriz paralela
al eje y y d unidades a la derecha. En este caso la directriz tiene ecuación
x d y es perpendicular al eje polar. Si el punto P tiene coordenadas polares (r, u),
se puede observar de la figura 1 que d1P, F2 r y d1P, /2 d r cos u. Así, la
condición d1P, F2/d1P, /2 e , o bien, d1P, F2 e # d1P, /2 , se convierte en
r e1d r cos u2
d
Si ambos lados de esta ecuación polar se elevan al cuadrado y se convierten a coordenadas
rectangulares, se obtiene
Figura 1
11 e 2 2x 2 2de 2 x y 2 e 2 d 2
a x
x 2 y 2 e 2 1d x2 2
e2 2
d
1 e b
y2
2 1 e e2 d 2
2 11 e 2 2 2
Desarrolle y simplfique
Divida entre 1 e 2 y complete
el cuadrado
Si e 1, entonces al dividir ambos lados de esta ecuación entre e 2 d 2 /(1 e 2 ) 2 se
obtiene una ecuación de la forma
donde
1x h2 2
a 2
y2
b 2 1
h e2 d
1 e 2 a2 e2 d 2
11 e 2 2 2 b2 e2 d 2
1 e 2