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SECCIÓN 1.8 Geometría analítica 93
y
0
r
C(h, k)
P(x, y)
x
es decir, una ecuación que representa a una curva dada en el plano xy. Las coordenadas
de los puntos de la curva, y no otros, satisfacen tal ecuación. Ésta es la otra
mitad del principio fundamental de la geometría analítica según lo formularon Descartes
y Fermat. La idea es que si una curva geométrica puede ser representada mediante
una ecuación algebraica, entonces las reglas del álgebra se pueden utilizar para
analizar la curva.
Para ejemplificar este tipo de problema, determinemos la ecuación de una circunferencia
con radio r y centro en 1h, k2. Por definición, la circunferencia es el conjunto
de todos los puntos P1x, y2 cuya distancia desde el centro C1h, k2 es r (véase la
figura 12). Por lo tanto, P está sobre la circunferencia si y sólo si d1P, C2 r. De
acuerdo con la fórmula de la distancia tenemos
Figura 12
21x h2 2 1y k2 2 r
1x h2 2 1y k2 2 r 2
Se elevan al cuadrado ambos miembros
Ésta es la ecuación deseada.
Ecuación de una circunferencia
Una ecuación de la circunferencia con centro en 1h, k2 y radio r es
1x h2 2 1y k2 2 r 2
Esta expresión se denomina forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia.
Si el centro de la circunferencia es el origen (0, 0), entonces la
ecuación es
x 2 y 2 r 2
Ejemplo 8
Gráfica de una circunferencia
Grafique las ecuaciones.
a) x 2 y 2 25 b) 1x 22 2 1y 12 2 25
Solución
a) Volvemos a escribir la ecuación como x 2 y 2 5 2 , y advertimos que es una
ecuación de una circunferencia de radio 5 y centro en el origen. Su gráfica se
ilustra en la figura 13.
b) Reescribimos la ecuación como 1x 22 2 1y 12 2 5 2 , y nos percatamos
de que es una ecuación de una circunferencia de radio 5 y centro en 12, 12.
Su gráfica se muestra en la figura 14.
y
y
5
0
5
x
0
(2, _1)
x
≈+¥=25
(x-2)+(y+1)=25
Figura 13 Figura 14 ■