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622 CAPÍTULO 8 Coordenadas polares y vectores
Ejemplo 5
Hallar las componentes
Sean u 1, 4 y v 2, 1. Encuentre la componente de u a lo largo de v.
Solución
Se tiene
componente de u a lo largo de v u # v
0 v 0
112122 142112
14 1
2 15
■
Proyección de u sobre v
u
v
En la figura 6 se muestran representaciones de los vectores u y v. La proyección de
u sobre v, denotada por proy v u, es el vector cuya dirección es la misma que la de v
y cuya longitud es la componente de u a lo largo de v. Para hallar una expresión
para proy v u, primero se encuentra un vector unitario en la dirección de v y luego se
multiplica por la componente de u a lo largo de v.
proy v u
proy v u 1componente de u a lo largo de v21vector unitario en la dirección de v2
u
a u # v
b
0 v 0
v
0 v 0
a u # v
0 v 0
2 b v
Figura 6
proy v u
v
Con frecuencia se requiere resolver un vector u en la suma de dos vectores, uno paralelo
a v y el otro ortogonal a v. Es decir, se desea escribir u u 1 u 2 donde u 1
es paralelo a v y u 2 es ortogonal a v. En este caso, u 1 proy v u y u 2 u proy v u
(véase el ejercicio 37).
Cálculo de proyecciones
La proyección de u sobre v es el vector proy v u dado por
proy v u a u # v
0 v 0
2 b v
Si el vector u se resuelve en u 1 y u 2 , donde u 1 es paralelo a v y u 2 es
ortogonal a v, entonces
u 1 proy v u y u 2 u proy v u
Ejemplo 6
Resolver un vector en vectores ortogonales
Sean u 2, 9 y v 1, 2.
a) Encuentre proy v u.
b) Resuelva u en u 1 y u 2 , donde u 1 es paralelo a v y u 2 es ortogonal a v.
Solución
a) Por la fórmula para la proyección de un vector sobre otro se tiene
proy v u a u # v
0 v 0
2 b v
a 82, 99 # 81, 29
112 2 2 2 b81, 29
481, 29 84, 89
Fórmula para proyección
Definición de u y v