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604 CAPÍTULO 8 Coordenadas polares y vectores
25–48 ■ Escriba el número complejo en forma polar con
argumento u entre 0 y 2p.
25. 1 i 26. 1 13 i 27. 12 12 i
28. 1 i 29. 213 2i 30. 1 i
31. 3i 32. 3 313 i 33. 5 5i
34. 4 35. 413 4i 36. 8i
37. 20 38. 13 i 39. 3 4i
40. i12 2i2 41. 3i11 i2 42. 211 i2
43. 41 13 i2 44. 3 3i 45. 2 i
46. 3 13 i 47. 12 12 i 48. pi
49–56 ■ Encuentre el producto z 1 z 2 y el cociente z 1 /z 2 . Exprese
su respuesta en forma polar.
49. z 1 cos p i sen p, z 2 cos p 3 i sen p 3
50. z 1 cos p 4 i sen p 4 , z 2 cos 3p 4 i sen 3p 4
51. z 1 3 a cos p 6 i sen p 6 b , z 2 5 a cos 4p 3 i sen 4p 3 b
52.
z 1 7 a cos 9p 8 i sen 9p 8 b , z 2 2 a cos p 8 i sen p 8 b
53. z 1 41cos 120° i sen 120°2,
z 2 21cos 30° i sen 30°2
54. z 1 121cos 75° i sen 75°2,
z 2 3121cos 60° i sen 60°2
55. z 1 41cos 200° i sen 200°2,
z 2 251cos 150° i sen 150°2
56. z 1 4 51cos 25° i sen 25°2,
z 2 1 51cos 155° i sen 155°2
57–64 ■ Escriba z 1 y z 2 en forma polar, y luego encuentre el
producto z 1 z 2 y los cocientes z 1 /z 2 y 1/z 1 .
57.
58.
59.
60.
z 1 13 i, z 2 1 13 i
z 1 12 12 i, z 2 1 i
z 1 213 2i, z 2 1 i
z 1 12 i, z 2 3 313 i
61. z 1 5 5i, z 2 4 62. z 1 413 4i, z 2 8i
63. z 1 20, z 2 13 i 64. z 1 3 4i, z 2 2 2i
65–76 ■ Encuentre la potencia indicada por medio del teorema
de DeMoivre.
65. 11 i2 20
66. 11 13 i2 5
67. 1213 2i2 5 68. 11 i2 8
1 13 i2 10
69. a 12
2 12 12
2 i b 70.
71. 12 2i2 8 72. a
2 13 15
2 i b
73. 11 i2 7
74. 13 13 i2 4
75. 1213 2i2 5 76. 11 i2 8
77–86 ■ Encuentre las raíces indicadas y grafique las raíces en
el plano complejo.
77. Las raíces cuadradas de 413 4i
78. Las raíces cúbicas de 413 4i
79. Las raíces cuartas de 81i 80. Las raíces quintas de 32
81. Las raíces octavas de 1 82. Las raíces cúbicas de 1 i
83. Las raíces cúbicas de i 84. Las raíces quintas de i
85. Las raíces cuartas de 1
86. Las raíces quintas de 16 1613i
87–92 ■ Resuelva la ecuación.
87. z 4 1 0 88. z 8 i 0
89. z 3 413 4i 0 90. z 6 1 0
91. z 3 1 i 92. z 3 1 0
93. a) Sea „ cos 2p donde n es un entero
n i sen 2p n
positivo. Muestre que 1, „, „ 2 , „ 3 ,...,„ n1 son las n
distintas raíces n-ésimas de 1.
b) Si z 0 es cualquier número complejo y s n z, muestre
que las n distintas raíces n-ésimas de z son
s, s„, s„ 2 , s„ 3 , . . . , s„ n1
Descubrimiento • Debate
94. Sumas de raíces de la unidad Encuentre los valores
exactos de las tres raíces cúbicas de 1 (véase el ejercicio 93)
y luego súmelas. Haga lo mismo para las raíces cuarta, quinta,
sexta y octava de 1. ¿Cuál considera que sea la
suma de las raíces n-ésimas de 1, para cualquier n?
95. Productos de las raíces de la unidad Encuentre el producto
de las tres raíces cúbicas de 1 (véase el ejercicio 93).
Haga lo mismo para las raíces cuarta, quinta, sexta y
octava de 1. ¿Cuál cree que sea el producto de las raíces
n-ésimas de 1, para cualquier n?
96. Coeficientes complejos y la fórmula cuadrática La
fórmula cuadrática funciona si los coeficientes de la ecuación
son reales o complejos. Resuelva estas ecuaciones usando
la fórmula cuadrática y, si es necesario, el teorema de
DeMoivre.
a) z 2 11 i2z i 0
b) z 2 iz 1 0
c) z 2 12 i2z 1 4 i 0