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618 CAPÍTULO 8 Coordenadas polares y vectores
Definición del producto punto
Si u a 1 , b 1 y v a 2 , b 2 son vectores, entonces su producto punto,
denotado por uv, se define como
u # v a1 a 2 b 1 b 2
Así que para hallar el producto punto de u y v se multiplican las componentes
correspondientes y se suman. El producto punto no es un vector; es un número real
o escalar.
Ejemplo 1 Cálculo de productos punto
a) Si u 3, 2 y v 4, 5 entonces
u # v 132142 122152 2
b) Si u 2i j y v 5i 6j, entonces
u # v 122152 112162 4
■
Las demostraciones de las siguientes propiedades del producto punto se deducen
con facilidad de la definición.
Propiedades del producto punto
y
1.
2.
3.
u # v v # u
1au2 # v a1u # v2 u # 1av2
1u v2 # w u # w v # w
4. 0 u 0 2 u # u
v
■ Demostración Se prueba sólo la última propiedad. Las demostraciones de
las otras se dejan como ejercicios. Sea u a, b. Entonces
0
Figura 1
¨
u
x
u # u 8a, b9 # 8a, b9 a 2 b 2 0 u 0
2
Sean u y v vectores trácelos con puntos iniciales en el origen. Se define al ángulo
u entre u y v como el más pequeño de los ángulos formado por estas representaciones
de u y v (véase la figura 1). Así, 0 u p. El siguiente teorema relaciona el
ángulo entre dos vectores con su producto punto.
■
Teorema del producto punto
Si u es el ángulo entre dos vectores no cero u y v, entonces
u # v 0 u 00v 0 cos u