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766 CAPÍTULO 10 Geometría analítica
Trayectorias de cometas
La trayectoria de un cometa es una
elipse, una parábola o una hipérbola
con el Sol en un foco. Este hecho se
puede probar por medio del cálculo
y las leyes de Newton del movimiento.*
Si la trayectoria es una
parábola o una hipérbola, el cometa
nunca regresará. Si la trayectoria
es una elipse, se puede determinar
con precisión dónde y cuándo el
cometa puede ser visto de nuevo.
El cometa Halley tiene una trayectoria
elíptica y vuelve cada 75 años;
fue visto por última vez en 1987. El
cometa más brillante del siglo XX
fue el cometa Hale-Bopp, visto en
1997. Su órbita es una elipse muy
excéntrica; se espera que vuelva al
sistema solar interior alrededor del
año 4377.
Debido a que el término y 2 es positivo, la hipérbola tiene un eje transversal vertical; sus
focos y vértices están sobre el eje y. Puesto que a 2 1 y b 2 9, se obtiene a 1,
b 3 y c 11 9 110. Por lo tanto, se tiene
VÉRTICES
10, 12
FOCOS 10, 110
2
ASÍNTOTAS
Se dibujan el cuadro central y las asíntotas, luego se completa la gráfica, como se
muestra en la figura 4a).
La gráfica se puede dibujar también en una calculadora, como se muestra en la
figura 4b).
y
1
F⁄Ó0, œ∑10Ô
3
x
_5
1
y 3 x
2
y = œ1 + x 2 /9
5
F¤Ó0, _œ∑10Ô
_2
y = – œ1 + x 2 /9
a) b)
*James Stewart, Calculus, 5a. ed. (Pacific
Grove, CA; Brooks/Cole, 2003),
pp. 912-914.
Figura 4
x 2 9y 2 9 0
Ejemplo 3
Hallar la ecuación de una hipérbola
a partir de sus vértices y focos
Encuentre la ecuación de la hipérbola con vértices 13, 02 y focos 14, 02. Bosqueje
la gráfica.
Solución Puesto que los vértices están sobre el eje x, la hipérbola tiene un eje
transversal horizontal. Su ecuación es de la forma
3 y2
2 b 1 2
Se tiene a 3 y c 4. Para hallar b, se usa la relación a 2 b 2 c 2 .
x 2
3 2 b 2 4 2
b 17
Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola es
b 2 4 2 3 2 7
x 2
9 y2
7 1
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