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SECCIÓN 3.6 Funciones racionales 299
46.
47.
48.
49.
50.
51.
P1x2 x 3 x 6
P1x2 2x 3 7x 2 12x 9
P1x2 2x 3 8x 2 9x 9
P1x2 x 4 x 3 7x 2 9x 18
P1x2 x 4 2x 3 2x 2 2x 3
P1x2 x 5 x 4 7x 3 7x 2 12x 12
52. P1x2 x 5 x 3 8x 2 8 [Sugerencia: Factorice por
agrupación de términos]
53.
54.
55.
56.
57.
58.
P1x2 x 4 6x 3 13x 2 24x 36
P1x2 x 4 x 2 2x 2
P1x2 4x 4 4x 3 5x 2 4x 1
P1x2 4x 4 2x 3 2x 2 3x 1
P1x2 x 5 3x 4 12x 3 28x 2 27x 9
P1x2 x 5 2x 4 2x 3 4x 2 x 2
59–64 ■ Se da un polinomio P.
a) Factorice P en factores lineales y cuadráticos irreducibles
con coeficientes reales.
b) Factorice P por completo en factores lineales con coeficientes
complejos.
59. P1x2 x 3 5x 2 4x 20
60. P1x2 x 3 2x 4
61. P1x2 x 4 8x 2 9
62. P1x2 x 4 8x 2 16
63. P1x2 x 6 64
64. P1x2 x 5 16x
65. Por el teorema de ceros, toda ecuación polinomial de
n-ésimo grado tiene exactamente n soluciones (incluso posiblemente
algunas que son repetidas). Algunas de éstas
pueden ser reales y algunas imaginarias. Use un dispositivo
de graficación para determinar cuántas soluciones reales e
imaginarias tiene cada ecuación.
a) x 4 2x 3 11x 2 12x 0
b) x 4 2x 3 11x 2 12x 5 0
c) x 4 2x 3 11x 2 12x 40 0
66–68 ■ Hasta aquí se ha trabajado sólo con polinomios que
tienen coeficientes reales. Estos ejercicios tienen que ver con
polinomios con coeficientes reales e imaginarios.
66. Encuentre las soluciones de la ecuación.
a) 2x 4i 1
b) x 2 ix 0
c) x 2 2ix 1 0
d) ix 2 2x i 0
67. a) Muestre que 2i y 1 i son soluciones de la ecuación
x 2 11 i2x 12 2i2 0
pero que sus complejos conjugados 2i y 1 i no
lo son.
b) Explique por qué el resultado del inciso a) no viola el
teorema de ceros conjugados.
68. a) Encuentre el polinomio con coeficientes reales de grado
más pequeño posible para el cual i y 1 i son los ceros
y en el que el coeficiente de la potencia más alta es 1.
b) Encuentre un polinomio con coeficientes complejos del
grado más pequeño posible para el cual 1 i son ceros
y en el que el coeficiente de la potencia más alta es 1.
Descubrimiento • Debate
69. Polinomios de grado impar El teorema de ceros conjugados
establece que los ceros complejos de un polinomio
con coeficientes reales ocurre en pares complejos conjugados.
Explique cómo este hecho demuestra que un polinomio
con coeficientes reales y grado impar tiene por lo menos un
cero real.
70. Raíces de la unidad Hay dos raíces cuadradas de 1, a
saber, 1 y 1. Éstas son soluciones de x 2 1. Las raíces
cuartas de 1 son las soluciones de la ecuación x 4 1o
x 4 1 0. ¿Cuántas raíces cuartas de 1 hay? Encuéntrelas.
Las raíces cúbicas de 1 son las soluciones de la ecuación
x 3 1 o x 3 1 0. ¿Cuántas raíces cúbicas de 1 hay?
Determínelas. ¿Cómo encontraría las raíces sextas de 1?
¿Cuántas hay? Haga una conjetura acerca de las raíces
n-ésimas de 1.
3.6 Funciones racionales
Una función racional tiene la forma
r1x2 P1x2
Q1x2
donde P y Q son polinomios. Se supone que P1x2 y Q1x2 no tienen factor en común.
Aunque las funciones racionales se construyen de polinomios, sus gráficas se
ven bastante diferentes de las gráficas de funciones polinomiales.