7nxQnvJSe

370 CAPÍTULO 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
se modela mediante una función exponencial. ¿Pero qué base se debe usar? La respuesta
es e, porque entonces se puede demostrar (por medio del cálculo) que la
población se modela mediante
n1t2 n 0 e rt
donde r es la tasa relativa de crecimiento de la población, expresada como una proporción
de la población en cualquier tiempo. Por ejemplo, si r 0.02, entonces en
cualquier instante t la tasa de crecimiento es 2% de la población en el instante t.
Observe que la fórmula para el crecimiento poblacional es la misma que para el
interés compuesto en forma continua. De hecho, el mismo principio funciona en ambos
casos: el crecimiento de una población (o una inversión) por periodo es proporcional
al tamaño de la población (o la cantidad de la inversión). Una población de
1 000 000 se incrementará más en un año que una población de 1000; de la misma
manera, una inversión de 1 000 000 dólares crecerá más en un año que una inversión
de $1000.
Modelo de crecimiento exponencial
Una población que experimenta crecimiento exponencial crece según el modelo
n1t2 n 0 e rt
donde
n1t2 población en el tiempo t
n 0 tamaño inicial de la población
r tasa relativa de crecimiento (expresada como una proporción
de la población)
t tiempo
En los ejemplos siguientes se supone que las poblaciones crecen de forma exponencial.
Ejemplo 1
Predecir el tamaño de la población
La cuenta inicial de bacterias en un cultivo es 500. Más tarde un biólogo realiza una
cuenta muestral de bacterias en el cultivo y encuentra que la tasa relativa de crecimiento
es 40% por hora.
a) Encuentre una función que modele el número de bacterias después de t horas.
b) ¿Cuál es la cuenta estimada después de 10 horas?
c) Trace la gráfica de la función n1t2.
5000
Solución
a) Se usa el modelo de crecimiento exponencial con n 0 500 y r 0.4 para obtener
500
0
n(t)=500eº—¢‰
6
n1t2 500e 0.4t
donde t se mide en horas.
b) Por medio de la función del inciso a), se encuentra que la cuenta de bacterias
después de 10 horas es
n1102 500e 0.4 1102 500e 4 27,300
Figura 1
c) La gráfica se muestra en la figura 1. ■