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SECCIÓN 10.7 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 805
y
Sean (x, y) las coordenadas de P. Entonces de la figura 8 (que ilustra el caso
0 u p/2), se ve que
x d1O, T2 d1P, Q2 au a sen u a1u sen u2
P
a
¨
C (a , a)
Q
y d1T, C2 d1Q, C2 a a cos u a11 cos u2
por lo tanto las ecuaciones para la cicloide son
x a1u sen u2
y a11 cos u2
■
0
x y a¨
Figura 8
T
x
La cicloide tiene varias propiedades físicas interesantes. Es la “curva del descenso
más rápido” en el siguiente sentido. Elíjanse dos puntos P y Q que no están directamente
arriba entre sí, y únalos con un alambre. Suponga que se permite que una cuenta
se deslice por el alambre bajo la influencia de la gravedad (sin considerar la fricción).
De todas las formas posibles en las que se puede doblar el alambre, la cuenta se deslizará
de P a Q lo más rápido posible cuando la forma sea la mitad de un arco de una
cicloide invertida (véase la figura 9). La cicloide es también la “curva de igual descenso”
en el sentido de que sin importar dónde se coloque una cuenta B sobre un alambre
en forma de cicloide, le toma el mismo tiempo deslizarse hasta el fondo (véase la
figura 10). Estas propiedades bastante sorprendentes de la cicloide fueron probadas (por
medio de cálculo) en el siglo XVII por varios matemáticos y físicos, inclusive Johann Bernoulli,
Blaise Pascal y Christiaan Huygens.
P
B
cicloide
Q
B
B
Figura 9 Figura 10
8
Uso de dispositivos de graficación para trazar
curvas paramétricas
La mayor parte de las calculadoras y programas de graficación de computadoras se pueden
usar para trazar ecuaciones paramétricas. Esta clase de dispositivos son particularmente
útiles cuando se trazan curvas complicadas como la mostrada en la figura 11.
_6.5 6.5
_8
Figura 11
x t 2 sen 2t, y t 2 cos 5t
Ejemplo 7
Graficación de curvas paramétricas
Utilice un dispositivo de graficación para dibujar las siguientes curvas paramétricas.
Explique las similitudes y diferencias.
a) x sen 2t b) x sen 3t
y 2 cos t
y 2 cos t
Solución En ambos incisos a) y b), la gráfica quedará dentro de un rectángulo
dado por 1 x 1, 2 y 2, puesto que tanto el seno como el coseno de
cualquier número estarán entre 1 y 1. Así, se podría usar el rectángulo de visión
[1.5, 1.5] por [2.5, 2.5].