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18 CAPÍTULO 1 Fundamentos
Las raíces cuadradas son casos especiales de las raíces n-ésimas. La raíz n-ésima
de x es el número que cuando se eleva a la potencia n-ésima da x.
Definición de la raíz n-ésima
Si n es un entero positivo, entonces la raíz n-ésima principal de a se define
como sigue:
1 n a b quiere means decir b n a
Si n es par, debemos tener a 0 y b 0.
Por consiguiente,
1 4 81 3 because porque 3 4 81 and y 3 0
1 3 8 2 because porque 122 3 8
Pero 18, 1 4 8 y 1 6 8 no están definidos. (Por ejemplo, 18 no está definido
porque el cuadrado de todo número real es no negativo.)
Observe que
24 2 116 4 pero but 2142 2 116 4 0 4 0
Entonces, la ecuación 2a 2 a no siempre se cumple; es verdadera sólo cuando
a 0. No obstante, siempre podemos escribir 2a 2 0 a 0 . Esta última ecuación es
verdadera no sólo para raíces cuadradas, sino para cualquier raíz par. Ésta y otras reglas
usadas al trabajar con raíces n-ésimas se listan en el siguiente cuadro. En cada propiedad
suponemos que existen las raíces dadas.
Propiedades de las raíces n-ésimas
Propiedad
1. 2 n ab 2 n a2 n b
n a
2.
Bb 2n a
2 n b
_
3. 3 m 1 n a 3 mn a
4. 2 n a n a si n es impar
Ejemplo
1 3 8 # 27 1 3 81 3 27 122132 6
4 16
B81 14 16
1 4 81 2 3
31 3 729 1 6 729 3
2 3 152 3 5, 2 5 2 5 2
5. 2 n a n 0 a 0 si n es par 2 4 132 4 0 3 0 3
Ejemplo 8
Simplificación de expresiones que contienen
raíces n-ésimas
(a)
2 3 x 4 2 3 x 3 x
2 3 x 3 2 3 x
x2 3 x
Sacar como factor el término más grande al cubo
Propiedad 1: 1 3 ab 1 3 a1 3 b
Propiedad 4: 2 3 a 3 a