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916 CAPÍTULO 12 Límites: presentación preliminar de cálculo
32. Velocidad de una gota de lluvia La velocidad descendente
de una gota en el instante t se modela con la función
√1t2 1.211 e 8.2t 2
a) Encuentre la velocidad terminal de la gota al evaluar
lím tSq √1t2. (Use el resultado del ejemplo 3.)
b) Grafique √1t2 y emplee la gráfica para estimar en cuánto
tiempo la velocidad de la gota llega a 99% de su velocidad
terminal.
(t)=1.2(1-e– 8.2t )
Descubrimiento • Debate
33. Límite de una sucesión recursiva
a) Una sucesión se define de modo recursivo por a 1 0 y
a n1 22 a n
Encuentre los primeros diez términos de esta sucesión
correctos hasta ocho decimales. ¿Al parecer esta sucesión
es convergente? Si es así, infiera el valor del límite.
b) Suponiendo que la sucesión del inciso a) es convergente,
sea que lím nSq a n L. Explique por qué lím nSq a n1 L
también y, por lo tanto,
L 12 L
Resuelva esta ecuación para hallar el valor exacto de L.
12.5 Áreas
Se ha visto que los límites son necesarios para calcular la pendiente de una recta
tangente o una tasa de cambio instantánea. Aquí se verá que también son necesarios
para hallar el área de una región con un límite curvo. El problema de hallar tales áreas
tiene consecuencias más allá de simplemente determinar el área. (Véase Enfoque
en el modelado, página 929.)
Problema del área
Uno de los problemas centrales en el cálculo es el problema del área: hallar el área
de la región S que yace bajo la curva y f 1x2 de a a b. Esto significa que S, ilustrada
en la figura 1, está acotada por la gráfica de una función f (donde f 1x2 0), las líneas
verticales x a y x b, y el eje x.
y
y=Ï
x=a
S
x=b
Figura 1
0 a b
x
Al tratar de resolver el problema del área, hay que preguntarse: ¿cuál es el significado
de la palabra área? Esta pregunta es fácil de responder para regiones con lados
rectos. Para un rectángulo, el área se define como el producto de la longitud y