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AVANCE
PRECÁLCULO. MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO, QUINTA EDICIÓN
Las matemáticas como un
esfuerzo para resolver problemas
La resolución de problemas y el modelado matemático
se presentan casi al inicio del libro y se refuerzan a
través de todo el contenido, de modo que cuando los
estudiantes terminan el curso poseen bases firmes de
los principios del pensamiento matemático.
CAPÍTULO 3 Repaso 317
Ejercicios
1–6 ■ Grafique el polinomio transformando una grafica apropiada
de la forma y x n . Muestre con claridad todos los inter-
13–20 ■ Encuentre el cociente y el residuo.
x
sectos x y y.
2 3x 5
x 2 x 12
13. 14.
x 2
x 3
1. P1x2 x 3 64 2. P1x2 2x 3 16
x 3 x 2 11x 2
x 3 2x 2 10
3. P1x2 21x 12 4 32 4. P1x2 81 1x 32 4 15. 16.
x 4
x 3
5. P1x2 32 1x 12 5 6. P1x2 31x 22 5 96
x 4 8x 2 2x 7
2x 4 3x 3 12
7–10 ■ Use un dispositivo de graficación para graficar el polinomio.
Encuentre las intersecciones x y y y las coordenadas de
17. 18.
x 5
x 4
los extremos locales correctas hasta el décimo más próximo.
2x 3 x 2 8x 15 x 4 2x 2 7x
19. 20.
Des-criba el comportamiento final del polinomio.
x 2 2x 1
x 2 x 3
7. P1x2 x 3 4x 1 8. P1x2 2x 3 6x 2 2
21–22 ■ Halle el valor indicado del polinomio por medio del
9. P1x2 3x 4 4x 3 10x 1
teorema del residuo.
10. P1x2 x 5 x 4 7x 3 x 2 6x 3
21. P1x2 2x 3 9x 2 7x 13; encuentre P152
11. La resistencia S de una viga de madera de ancho x y profundidad
y se expresa mediante la fórmula S 13.8xy 2 . Se
1
22. Q1x2 x 4 4x 3 7x 2 10x 15; determine Q132
23. Muestre que 2 es un cero del polinomio
cortará una viga de un tronco de diámetro 10 pulg., como se
muestra en la figura.
P1x2 2x 4 x 3 5x 2 10x 4
a) Exprese la resistencia S de esta viga como una función
24. Use el teorema del factor para mostrar que x 4 es un factor
del polinomio
de x solamente.
b) ¿Cuál es el dominio de la función S?
c) Dibuje una gráfica de S.
P1x2 x 5 4x 4 7x 3 23x 2 23x 12
d) ¿Qué ancho hace que la viga tenga la mayor resistencia? 25. ¿Cuál es el residuo cuando el polinomio
P1x2 x 500 6x 201 x 2 2x 4
se divide entre x 1?
26. ¿Cuál es el residuo cuando x 101 x 4 2 se divide entre
x 1?
368 CAPÍTULO 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
27–28 ■ Se da un polinomio P.
b) ¿Después de cuántos años la población de peces a) Liste llega los a posibles 81. ceros Circuitos racionales electrónicos (sin probar Un si en circuito realidad electrónico contiene
5000?
son ceros). una batería que produce un voltaje de 60 volts (V), un resistor
posible con una de resistencia ceros positivos de 13 ohms y negativos (), y un inductor con
12. Se construirá un pequeño cobertizo para plantas delicadas
b) Determine el número
con un plástico delgado. Tendrá extremos cuadrados y las
usando la regla de los una signos inductancia de Descartes. de 5 henrys (H), como se muestra en la
partes superior y posterior serán rectangulares, con el frente
figura. Por medio del cálculo, se puede demostrar que
y el fondo abiertos, como se muestra en la figura. El área total
de los cuatro lados de plástico será de 1200 pulg 2 .
27. P1x2 x 5 6x 3 la xcorriente
2 2x I 18I1t2
(en amperes, A) t segundos después de
28. P1x2 6x 4 3x 3 que xse 2 cierra 3x el 4interruptor es I 60 1311 e 13t/5 2.
a) Exprese el volumen V del cobertizo como una función
a) Use esta ecuación para expresar el tiempo t como una
de la profundidad x.
29–36 ■ Se da un polinomio función P. de la corriente I.
b) Dibuje una gráfica de V.
a) Encuentre los ceros b) de P¿Después y sus multiplicidades.
de cuántos segundos la corriente es 2 A?
c) ¿Qué dimensiones maximizarán el volumen del
b) Bosqueje la gráfica de P.
cobertizo? 78. Transparencia de un lago Los científicos ambientales
13
miden la intensidad de la luz a varias profundidades 29. en P1x2 un x 3 16x 30. P1x2 x 3 3x 2 4x
y
lago para determinar la transparencia del agua. Ciertos
31. P1x2
niveles
de transparencia se requieren para la biodiversidad de la
x 4 x 3 2x 2 32. P1x2 x 4 5x 2 4
población de macrófitas. En cierto lago la intensidad 33. P1x2 de la x 4 2x 3 7x 2 8x60 V12
5 H
x luz a una profundidad x está dada por
34. P1x2 x 4 2x 3 2x 2 8x 8
I 10e 0.008x 35. P1x2 2x 4 x 3 2x 2 3x 2 Switch
donde x I se mide en lúmenes y x en pies.
a) Determine la intensidad I a una profundidad de 30 pies. 82. Curva de aprendizaje Una curva de aprendizaje es una
gráfica de una función P1t2 que mide el desempeño de
b) ¿A qué profundidad la intensidad de la luz ha disminuido
a I 5?
alguien que aprende una habilidad como una función del
tiempo de entrenamiento t. Al comienzo, la tasa de aprendizaje
es rápida. Luego, conforme se incremente el desempeño
y se aproxime a un valor máximo M, disminuye la tasa
de aprendizaje. Se ha encontrado que la función
P1t2 M Ce kt
79. Presión atmosférica La presión atmosférica P (en kilopascales,
kPa) a la altura h (en kilómetros, km) está gobernada
por la fórmula
ln a P h
b
P 0 k
donde k 7 y P 0 100 kPa son constantes.
a) Despeje P de la ecuación.
b) Use el inciso a) para calcular la presión P a una altitud
de 4 km.
80. Enfriamiento de una máquina Suponga que conduce
un automóvil en un frío día de invierno (20ºF en el exterior)
y la máquina se sobrecalienta (a cerca de 220ºF). Cuando se
estaciona, la máquina comienza a enfriarse. La temperatura
T de la máquina t minutos después de que se estaciona satisface
la ecuación
ln a T 20
200 b 0.11t
a) Despeje T de la ecuación.
b) Use el inciso a) para determinar la temperatura del motor
después de 20 min (t 20).
donde k y C son constantes positivas y C M es un modelo
razonable para el aprendizaje.
a) Exprese el tiempo de aprendizaje t como una función
del nivel de desempeño P.
b) Para un saltador con pértiga en entrenamiento, la curva
de aprendizaje está dada por
P1t2 20 14e 0.024t
donde P1t2 es la altura que puede saltar después de t meses.
¿Después de cuántos meses puede saltar 12 pies?
c) Dibuje una gráfica de la curva de aprendizaje del in-ciso
b).
Enfoque en la resolución de problemas
Principios generales
Stanford University News Service
George Polya (1887-1985) es famoso
entre los matemáticos por
sus ideas acerca de la resolución de
problemas. Sus conferencias acerca
de la resolución de problemas
en Stanford University atraían a
grandes cantidades de personas a
quienes mantenía al borde de sus
asientos, llevándolos a descubrir
soluciones por sí mismos. Era capaz
de hacerlo debido a su profundo
conocimiento de los fenómenos
psicológicos que hay en el momento
de resolver un problema. Su obra
mejor conocida How To Solve It
está traducida a 15 idiomas. Decía
que Euler (véase pág. 288) era único
entre los grandes matemáticos
porque explicaba cómo había encontrado
sus resultados. Polya decía
a menudo a sus alumnos: “Sí,
ya veo que tu demostración es correcta,
pero ¿cómo la descubriste?”
En el prefacio del libro How To
Solve It, Polya escribe “Un gran
descubrimiento resuelve un gran problema,
pero hay un grano de descubrimiento
en la solución de
cualquier problema. Su problema
podrá ser modesto, pero si desafía
a su curiosidad y lo lleva a poner en
marcha sus facultades inventivas, y
si usted resuelve el problema con
sus propios medios, experimentará
la fuerza y la alegría del triunfo del
descubrimiento”.
No hay reglas difíciles ni rápidas que aseguren el éxito al resolver problemas. Pero es
posible esbozar unos pasos generales en el proceso de la resolución de problemas y
dar principios que son útiles para resolver ciertos problemas. Estos pasos y principios
son sólo sentido común hecho explícito. Además, son adaptaciones del agudo
libro de George Polya How To Solve It.
1. Entienda el problema
El primer paso es leer el problema y estar seguro de que ya lo entendió. Hágase usted
mismo las preguntas siguientes:
¿Cuál es la incógnita?
¿Cuáles son las cantidades dadas?
¿Cuáles son las condiciones dadas?
Para cualquier problema es útil
hacer un diagrama
e identificar en el mismo diagrama las cantidades dadas y las requeridas.
Por lo regular es necesario
introducir una notación conveniente
Al elegir símbolos para las cantidades desconocidas, a menudo usamos letras como
a, b, c, m, n, x y y, pero en algunos casos ayuda usar iniciales o símbolos sugerentes,
por ejemplo, V para volumen o t para el tiempo.
2. Piense en un plan
Halle una conexión entre la información dada y la incógnita, que le permita calcularla.
Muchas veces ayuda preguntarse uno mismo: “¿Cómo puedo relacionar la
información dada con la incógnita?”. Si usted no ve la conexión en forma inmediata,
las ideas siguientes podrían ser útiles para trazar un plan.
■ Trate de identificar algo familiar
Relacione la situación dada con un conocimiento anterior. Examine la incógnita y
trate de recordar un problema más conocido que tiene una incógnita similar.
■ Intente identificar patrones
Ciertos problemas se resuelven cuando se identifica que hay un patrón. El patrón
podría ser geométrico o numérico o algebraico. Si puede ver regularidad o repetición
en un problema, entonces usted sería capaz de adivinar qué patrón es y demostrarlo.
■ Use la analogía
Trate de pensar en un problema análogo, es decir, que sea semejante o que esté relacionado,
pero que sea más fácil que el original. Si puede resolver el problema similar
más sencillo, entonces esto le podría dar las pistas que necesita para resolver el
Stewart, Redlin y Watson se enfocan en la solución de problemas y
hacen énfasis en que los estudiantes desarrollen un pensamiento
matemático en vez de que memoricen “reglas”. El capítulo 1 termina
con la sección Enfoque en la resolución de problemas, en la cual
se esbozan los pasos generales del proceso que lleva a la solución
de un problema y se proporcionan principios útiles al resolver
cierto tipo de problemas. Dichos pasos y principios son adaptaciones
de How To Solve It de George Polya.
Más del 20% de los ejercicios del texto es material nuevo en esta
edición, así como los ejercicios de aplicación. Una gran cantidad de
ejercicios clasificados con todo cuidado impulsan a que el estudiante
entienda los conceptos y desarrolle sus habilidades para resolver
problemas. Los ejercicios van desde el desarrollo de habilidades
elementales hasta los problemas más complicados. En esta edición,
cada conjunto de ejercicios incluye un grupo de ejercicios de Aplicaciones.
Este diseño confiere importancia a las aplicaciones de los problemas, a
la vez que los hace más fáciles de asignar.
El icono de calculadora para graficar señala los ejercicios que se
( resuelven idealmente por medio de la calculadora o la computadora.
En la página viii de este prefacio ilustrado se encuentra más información
acerca del uso de la calculadora para graficar en este libro.