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858 CAPÍTULO 11 Sucesiones y series
Archivo Inconograpico, S.A. /Corbis
Blaise Pascal (1623-1662) es considerado
como una de las mentes
más versátiles de la historia moderna.
Fue escritor y filósofo, así como
matemático y físico dotado.
Entre las contribuciones que aparecen
en este libro se encuentran el
triángulo de Pascal y el principio
de la inducción matemática.
El padre de Pascal, también matemático,
pensaba que su hijo estudiaría
matemáticas, hasta cuando
tuviera 15 o 16 años, pero a los 12
años, Blaise insistió en estudiar
geometría, y demostró él mismo la
mayor parte de los teoremas elementales.
Cuando tenía 19 años inventó
la primera sumadora mecánica.
En 1647, después de escribir
un tratado sobre las secciones cónicas,
abandonó en forma repentina
sus estudios de matemáticas porque
sintió que su intensa dedicación
contribuía a su mala salud. Se dedicó
entonces a actividades frívolas,
como el juego, pero esto sólo sirvió
para que se despertara su interés en
la probabilidad. En 1654 sobrevivió
milagrosamente al accidente de un
carruaje en el cual los caballos cayeron
de un puente. Tomó esto
como una señal divina, así que ingresó
a un monasterio, donde se
entregó con afán a la teología y la
filosofía, y escribió sus famosos
Pensées. También prosiguió con
la investigación matemática. Para
él, la fe y la intuición eran más
valiosas que la razón como fuente
de la verdad, por lo que afirmó que
“el corazón tiene sus propias razones,
qué razones, no lo podemos
saber”.
Paso 2 Suponga que P1k2 es verdadera. Por lo tanto, la hipótesis de inducción es
1 2 3 . . . k1k 12
k
2
Queremos usarla para demostrar que P1k 12 es verdadera, es decir,
1 2 3 . . . 1k 1231k 12 14
k 1k 12
2
Entonces, se empieza con el primer miembro y se aplica la hipótesis de inducción
para obtener el segundo miembro:
1 2 3 . . . k 1k 12
31 2 3 . . . k4 1k 12
k1k 12
1k 12
2
1k 12a k 2 1 b
1k 12a k 2 b
2
1k 1231k 12 14
2
Agrupación de los primeros k términos
Hipótesis de inducción
Se toma como factor k 1
Denominador común
Escriba k 2 como k 1 1
Por lo tanto, P1k 12 se infiere de P1k2 y con esto termina el paso de
inducción.
Después de demostrar los pasos 1 y 2, concluimos que de acuerdo con el principio
de la inducción matemática P1n2 es verdadera para todos los números naturales n. ■
Las fórmulas para las sumas de las potencias de los primeros n números naturales
son importantes en el cálculo infinitesimal. La fórmula 1 del recuadro siguiente se
demostró en el ejemplo 2. Las otras fórmulas también se demuestran aplicando la
inducción matemática (véanse los ejercicios 4 y 7).
Sumas de potencias
0.
n
n
n1n 12
a 1 n
1. a k
k1
k1 2
2.
n
n1n 1212n 12
n
3. a k 3 n2 1n 12 2
a k 2
6
4
k1
Podría suceder que una proposición P1n2 sea falsa para los primeros números naturales,
pero verdadera a partir de algún número en adelante. Por ejemplo, se podría querer
demostrar que P1n2 es verdadera para n 5. Obsérvese que si se demuestra que P152
es verdadera, entonces de este hecho, junto con el paso de inducción, se puede inferir
que son verdaderas P152, P162, P172,.... El ejemplo siguiente ilustra este aspecto.
Ejemplo 3
k1
Demostración de una desigualdad
por inducción matemática
Demuestre que 4n 2 n para toda n 5.