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818 Enfoque en el modelado
cambio se usarán las ecuaciones paramétricas. Primero se determina el tiempo cuando
el proyectil choca contra el suelo al sustituir y 0.
Sustituya y 0
Factorice
Iguale a cero el segundo factor
Despeje t
Ahora se sustituye esto en la ecuación para x a fin de ver qué tan lejos ha viajado
horizontalmente el proyectil cuando choca contra el suelo.
Ecuación paramétrica para x
Sustituya t 12√ 0 sen u2/g
Simplifique
Use la identidad sen 2u 2 sen u cos u
Se desea elegir u de modo que x sea tan grande como sea posible. El valor más grande
que puede tener el seno de cualquier ángulo es 1, el seno de 90. Así, se desea que
2u 90 o u 45. Por lo tanto, para enviar el proyectil lo más lejos posible, se debe
disparar a un ángulo de 45. De la última ecuación en la presentación precedente,
se puede ver que el proyectil viajará una distancia x √ 2 0 / g.
Problemas
0 1√ 0 sen u2t 1 2 gt2
0 t1√ 0 sen u 1 2 gt2
0 √ 0 sen u 1 2 gt
t 2√ 0 sen u
g
x 1√ 0 cos u2t
1√ 0 cos u2a 2√ 0 sen u
b
g
2√ 2 0 sen u cos u
g
√ 2 0 sen 2u
g
1. Las trayectorias son parábolas De las gráficas de la figura 3 las trayectorias
de los proyectiles al parecer son parábolas que abren hacia abajo. Elimine el parámetro
t de las ecuaciones paramétricas generales para comprobar que éstas de hecho son
parábolas.
2. Trayectoria de una pelota de béisbol Suponga que una pelota de béisbol es lanzada
a 30 pies/s a un ángulo de 60 respecto de la horizontal, desde una altura de 4 pies
sobre el suelo.
a) Encuentre las ecuaciones paramétricas para la trayectoria de la pelota y bosqueje
su gráfica.
b) ¿Qué tan lejos viaja la pelota y cuándo toca el suelo?
3. Trayectoria de un cohete Suponga que un cohete es lanzado a un ángulo de 5
desde la vertical, con una velocidad inicial de 1000 pies/s.
a) Determine el tiempo que el cohete está en el aire.
b) Calcule la máxima altura que alcanza.
c) Halle la distancia horizontal que ha recorrido cuando choca contra el suelo.
d) Grafique la trayectoria del cohete.
4. Disparo de un misil La velocidad inicial de un misil es de 330 m/s.
a) ¿A qué ángulo se debe disparar el misil para que toque tierra a 10 km? (Se debe
encontrar que hay dos ángulos posibles.) Grafique las trayectorias del misil para ambos
ángulos.
b) ¿Para qué ángulo el objetivo es alcanzado más rápidamente?