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774 CAPÍTULO 10 Geometría analítica
para obtener una aproximación a la parábola deseada. Aplique este procedimiento
para dibujar una parábola que ajuste en un rectángulo de 6 por
10 pies sobre césped.
V
V
V
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3 2 1 1 2 3
3 2 1 1 2 3
3 2 1 1 2 3
Torre de Kobe en
4. En este problema se construyen formas hiperbólicas por medio de rectas.
Haga orificios igualmente espaciados en los bordes de dos tapas de plástico
grandes. Una los orificios correspondientes con cuerdas de igual longitud
como se muestra en la figura. Manteniendo tensas las cuerdas, gire una tapa
en dirección contraria a la otra. Una superficie imaginaria que pasa por las
cuerdas tiene secciones transversales hiperbólicas. (Un ejemplo arquitectónico
de esto es la torre Kobe en Japón mostrada en la fotografía.) ¿Qué sucede
con los vértices de las secciones transversales hiperbólicas cuando se hacen
girar más las tapas?
y=x 2
y
a 2
Recta
tangente
0 a x
5. En este problema se muestra que la recta tangente a la parábola y x 2 en el
punto 1a, a 2 2 tiene la ecuación y 2ax a 2 .
a) Sea m la pendiente de la recta tangente en 1a, a 2 2. Muestre que la ecuación
de la recta tangente es y a 2 m1x a2.
b) Use el hecho de que la tangente interseca a la parábola en sólo un punto
para mostrar que 1a, a 2 2 es la única solución del sistema.
e y a2 m1x a2
y x 2
c) Elimine a y del sistema del inciso b) para obtener una ecuación cuadrática
en x. Muestre que el discriminante de esta ecuación cuadrática es
1m 2a2 2 . Puesto que el sistema en b) tiene exactamente una solución,
el discriminante debe ser igual a 0. Encuentre m.
d) Sustituya el valor para m que encontró en el inciso c) en la ecuación del
inciso a) y simplifique para obtener la ecuación de la recta tangente.