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SECCIÓN 11.5 Inducción matemática 855
Considere el polinomio
p(n) n 2 n 41
He aquí algunos valores de p(n):
p(1) 41 p(2) 43
p(3) 47 p(4) 53
p(5) 61 p(6) 71
p(7) 83 p(8) 97
Todos los valores hasta este momento
son números primos. En efecto, si se
continúa, encontrará que p(n) es primo
para todos los números naturales hasta
n 40. Parece razonable en este punto
conjeturar que p(n) es primo para todo
número natural n. Pero sacar conclusiones
sería demasiado prematuro porque
es fácil ver que p(41) no es primo.
Esto ilustra que no se puede tener la
certeza de la verdad de un enunciado
sin importar cuántos casos especiales
se verifiquen. Se necesita un argumento
convincente, es decir, una demostración,
para determinar la verdad del enunciado.
Esto da origen a la siguiente pregunta: ¿es cierto que para todo número natural n, la
suma de los primeros n números impares es n 2 ? ¿Podría ser cierta esta notable propiedad?
Podríamos intentar con otros números más y encontrar que el patrón se mantiene
para los primeros 6, 7, 8, 9 y 10 números impares. En este punto nos sentimos
seguros de que siempre es cierto, así que podemos plantear una conjetura:
La suma de los primeros n números impares es n 2 .
Puesto que sabemos que el n-ésimo número impar es 2n 1, podemos escribir este
enunciado más precisamente como
1 3 5 . . . 12n 12 n 2
Es importante percatarse de que esto todavía es una conjetura. No se puede concluir
mediante verificación de un número finito de casos que una propiedad es válida para
todos los números (hay una cantidad infinita). Para entenderlo con más claridad, suponga
que alguien dice que ha sumado hasta el primer millón de millones de números
y encontró que no suman un millón de millones al cuadrado. ¿Qué le diría a esta
persona? Sería absurdo decir que usted está seguro que es cierto porque ya verificó
los primeros cinco casos. Lo que sí puede hacer es tomar papel y lápiz y empezar a
verificar por sí mismo, pero esta tarea quizá le llevará el resto de su vida. La tragedia
sería que después de terminar esta tarea ¡usted no estaría seguro todavía de la validez
de la conjetura! ¿Se da cuenta por qué?
En esto radica el poder de la demostración matemática. Una demostración es un
razonamiento claro que demuestra la verdad de una proposición sin dejar duda.
Inducción matemática
Consideremos una clase especial de demostración llamada inducción matemática.
Aquí está la manera como funciona. Suponga que hay una proposición que dice algo
con respecto a todos los números naturales n. Llamémosle proposición P. Por ejemplo,
podríamos considerar el enunciado
P: Para todo número natural n, la suma de los primeros n números impares es n 2 .
Puesto que esta proposición habla de todos los números naturales, contiene una cantidad
infinita de proposiciones, que llamaremos P112, P122, ....
P112: La suma del primer número impar 1 es 1 2 .
P122: La suma de los primeros dos números impares es 2 2 .
P122: La suma de los primeros tres números impares es 3 2 .
. .
¿Cómo podemos demostrar todas estas proposiciones a la vez? La inducción matemática
es una manera ingeniosa de hacerlo.
El quid de la cuestión es éste: suponga que se puede demostrar que siempre que
una de estas proposiciones sea verdadera, entonces la siguiente en la lista también es
verdadera. En otras palabras.
Para toda k, si P1k2 es verdadera, entonces P1k 12 es verdadera.
Esto se llama etapa de inducción porque nos lleva de la validez de una proposición
a la siguiente. Ahora, supongamos que también podemos demostrar que
P112 es verdadera.