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SECCIÓN 4.5 Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas 373
10,000e r1402 20,000
e 40r 2
ln e 40r ln 2
40r ln 2
r ln 2
40
r 0.01733
n 0 e rt n(t)
Divida entre 10 000
Tome el ln de cada lado
Propiedad del ln
Divida entre 40
Resultado de la calculadora
Ahora que se sabe que r 0.01733, se puede escribir la función para el crecimiento
poblacional:
n1t2 10,000e 0.01733t
Número de ba terias
50 000
0
Figura 3
n(t)=10 000 eº . º¡££ t
Tiempo (min)
Las vidas medias de los elementos
radiactivos varían de muy largas a
muy cortas. A continuación se dan
algunos ejemplos.
80
b) Por medio de la función determinada en el inciso a) con t 60 min (una hora),
se obtiene
n1602 10,000e 0.017331602 28,287
Así, el número de bacterias después de una hora es aproximadamente 28 000.
c) Se usa la función que se encontró en el inciso a) con n1t2 50,000 y de la
ecuación resultante se despeja t.
10,000e 0.01733t 50,000
e 0.01733t 5
ln e 0.01733t ln 5
0.01733t ln 5
t ln 5
0.01733
t 92.9
n 0 e rt n(t)
Divida entre 10 000
Tome el ln de cada lado
Propiedad del ln
Divida entre 0.01733
Resultado de la calculadora
Elemento
Torio 232
Uranio 235
Torio 230
Plutonio 239
Carbono 14
Radio 226
Cesio 137
Estroncio 90
Polonio 210
Torio 234
Yodo 135
Radón 222
Plomo 211
Kriptón 91
Vida media
14.5 miles de
millones de años
4.5 miles de
millones de años
80 000 años
24 360 años
5 730 años
1 600 años
30 años
28 años
140 días
25 días
8 días
3.8 días
3.6 minutos
10 segundos
La cuenta de bacterias llegará a 50 000 en aproximadamente 93 min.
d) La gráfica de la función n1t2 10,000e 0.01733t se muestra en la figura 3. ■
Decaimiento radiactivo
Las sustancias radiactivas decaen de manera espontánea al emitir radiación. La tasa
de decaimiento es directamente proporcional a la masa de la sustancia. Esto es análogo
al crecimiento poblacional, excepto que la masa del material radiactivo disminuye.
Se puede demostrar que la masa m1t2 que permanece en el tiempo t se modela
mediante la función
m1t2 m 0 e rt
donde r es la tasa de decaimiento expresada como una proporción de la masa y m 0
es la masa inicial. Los físicos expresan la tasa de decaimiento en términos de la
vida media, el tiempo requerido para que se desintegre la mitad de la masa. Se puede