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SECCIÓN 8.3 Forma polar de números complejos; teorema de DeMoivre 603
Ejemplo 9 Hallar las raíces cúbicas de un número complejo
Encuentre las tres raíces cúbicas de z 2 2i y grafíquelas en el plano complejo.
Solución Primero se escribe z en forma polar usando grados. Se tiene
r 22 2 2 2 212 y u 45º. Así,
12122 1/3 12 3/2 2 1/3 2 1/2 12
Se suma 360/3 120 a cada
argumento para obtener el argumento
de la siguiente raíz.
_Ϸ2
w⁄
Im
Ϸ2 i
w¤
0 Ϸ2
_Ϸ2 i
w‚
Figura 10
Las tres raíces cúbicas de z 2 2i
Re
z 212 1cos 45° i sen 45°2
Al aplicar la fórmula para raíces n-ésimas (en grados) con n 3, se encuentra que
las raíces cúbicas de z son de la forma
„ k A212B 1/3 45° 360°k 45° 360°k
c cos a b i sen a bd
3
3
donde k 0, 1, 2. Así, las tres raíces cúbicas son
Las tres raíces cúbicas de z se grafican en la figura 10. Estas raíces están igualmente
espaciadas en un círculo de radio 12. ■
Ejemplo 10
„ 0 12 1cos 15° i sen 15°2 1.366 0.366i
„ 1 12 1cos 135° i sen 135°2 1 i
„ 2 12 1cos 255° i sen 255°2 0.366 1.366i
Resuelva la ecuación z 6 64 0.
Resolver una ecuación usando la fórmula
de raíz n-ésima
Solución Esta ecuación se puede escribir como z 6 64. Entonces, las soluciones
son las raíces sextas de –64, halladas en el ejemplo 8.
■
8.3 Ejercicios
15–16 ■ Bosqueje z 1 , z 2 , z 1 z 2 y z 1 z 2 en el mismo plano
0
0
@ 0 0 @ 0 0
@ 0 0 @ 0 0
0
0
1–8 ■ Grafique el número complejo y encuentre su módulo.
7. 13 i 8. 1 13
3 i
17–24 ■ Bosqueje el conjunto en el plano complejo.
1. 4i 2. 3i
complejo.
3. 2 4. 6
15. z 1 2 i, z 2 2 i
5. 5 2i 6. 7 3i
16. z 1 1 i, z 2 2 3i
9.
3 4i
12 i 12
10.
5
2
17. 5z a bi a 0, b 06
11–12 ■ Bosqueje el número complejo z y también bosqueje
1
2z, z y 2 z en el mismo plano complejo.
18.
19.
5z a bi a 1, b 16
5z z 36
20. 5z z 16
11. z 1 i 12. z 1 i13
21. 5z z 26
22. 5z 2 z 56
13–14 ■ Bosqueje el número complejo z y su conjugado complejo
en el mismo plano complejo.
23. 5z a bi a b 26
13. z 8 2i 14. z 5 6i
24. 5z a bi a b6