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SECCIÓN 7.2 Fórmulas de adición y sustracción 539
Ejemplo 6
Una suma de términos con senos y cosenos
Exprese 3 sen x 4 cos x en la forma k sen 1x f2.
Solución De acuerdo con el teorema anterior, k 2A 2 B 2 23 2 4 2 5.
El ángulo f tiene la propiedad de que sen f 4 y cos f 3 5
5. Mediante una calculadora
encontramos que f 53.1. Por lo tanto,
3 sen x 4 cos x 5 sen1x 53.1°2
■
Ejemplo 7
Gráfica de una función trigonométrica
Escriba la función f1x2 sen 2x 13 cos 2x en la forma k sen12x f2 y utilice
la nueva forma para graficar la función.
π
_
3
y
2
Solución Puesto que A 1 y B 13, tenemos entonces
k 2A 2 B 2 11 3 2. El ángulo f satisface cos f 1 2 y
sen f 13/2. De acuerdo con los signos de estas cantidades concluimos que
f está en el cuadrante II. Por lo tanto, f 2p/3. De acuerdo con el teorema
precedente podemos escribir
f1x2 sen 2x 13 cos 2x 2 sen a 2x 2p 3 b
_π
π
_
2
0
π
2
π
x
Usando la forma
Figura 3
_2
π
y=2 sen 2!x+ @
3
f1x2 2 sen 2 a x p 3 b
vemos que la gráfica es una curva seno cuya amplitud es 2, el periodo es 2p/2 p
y el desplazamiento de fase es p/3. La gráfica se muestra en la figura 3.
■
7.2 Ejercicios
1–12 ■ Aplique la fórmula de la adición o de la sustracción
para calcular el valor exacto de la expresión, según se demostró
en el ejemplo 1.
1. sen 75 2. sen 15
3. cos 105 4. cos 195
5. tan 15 6. tan 165
7.
19p
sen
8. cos 17p
12
12
9. tan a p
5p
10. sen a
12 b 12 b
11. cos 11p
12.
12
tan 7p
12
13–18 ■ Mediante la fórmula de la adición o de la sustracción
para plantear la expresión como una función trigonométrica de
un número, y después determinar su valor exacto.
13. sen 18 cos 27cos 18 sen 27
14. cos 10 cos 80sen 10 sen 80
15.
16.
17.
18.
cos 3p 7
cos
2p
21 sen 3p 7
tan p 18 tan p 9
1 tan p 18 tan p 9
tan 73° tan 13°
1 tan 73° tan 13°
sen
2p
21
cos 13p
15 cos a p 13p
b sen
5 15 sen a p
5 b
19–22 ■ Demuestre la identidad de la cofunción usando las
fórmulas de adición y sustracción.
19. tan a p 20. cot a p 2 u b cot u
2 u b tan u
21. sec a p 22. csc a p 2 u b csc u
2 u b sec u