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SECCIÓN 9.7 Determinantes y la regla de Cramer 707
Criterio de inversibilidad
Si A es una matriz cuadrada, entonces A tiene una inversa si y sólo si det1A2 0.
No demostraremos este hecho, pero a partir de la fórmula de la inversa de una matriz
2 2 (página 704) usted puede observar por qué es verdadero en el caso de 2 2.
Ejemplo 4
Uso del determinante para mostrar
que una matriz no es invertible
Demuestre que la matriz A no tiene inversa.
Solución Empezamos por calcular el determinante de A. Puesto que todos menos
uno de los elementos de segundo renglón son cero, expandimos el determinante
a partir del segundo renglón. Si así lo hacemos, de acuerdo con la siguiente ecuación
vemos que sólo el cofactor A 24 tendrá que ser calculado.
det1A2 ∞
0 # A21 0 # A22 0 # A23 3 # A24 3A 24
3 †
1 2 0 4
0 0 0 3
∞
5 6 2 6
2 4 0 9
1 2 0
5 6 2 †
2 4 0
3122 `
1 2 0 4
0 0 0 3
A ≥
¥
5 6 2 6
2 4 0 9
1 2
2 4 `
312211 # 4 2 # 22 0
Expandir esto a partir de la columna 3
Como el determinante de A es cero, A no puede tener una inversa, de acuerdo con el
criterio de la inversibilidad.
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Transformaciones de renglones y columnas
El ejemplo anterior muestra que si expandimos un determinante con respecto a un
renglón o una columna que contiene muchos ceros, el trabajo se reduce en forma notable
porque no tenemos que evaluar los cofactores de los elementos que son cero.
Con frecuencia, el principio siguiente simplifica el proceso de calcular un determinante
mediante la introducción de ceros sin cambiar su valor.