7nxQnvJSe

SECCIÓN 8.3 Forma polar de números complejos; teorema de DeMoivre 599
tan u 1 1 1
u p 4
a) Un argumento es u p/4 y r 11 1 12. Por lo tanto
1 i 12 a cos p 4 i sen p 4 b
tan u 13
1 13
u 2p 3
tan u
4
4 13 1 13
u 7p 6
b) Un argumento es u 2p/3 y r 11 3 2. Por lo tanto
1 13 i 2 a cos 2p 3 i sen 2p 3 b
c) Un argumento es u 7p/6 (o se podría usar u 5p/6), y
r 148 16 8. Por lo tanto
4 13 4i 8 a cos 7p 6 i sen 7p 6 b
tan u 4 3
u tan 1 4 3
d) Un argumento es u tan 1 4 3 y r 23 2 4 2 5. Por lo tanto
3 4i 53cosAtan 1 4 3B i senAtan 1 4 3B4
Las fórmulas de adición para seno y coseno que se estudiaron en la sección 7.2,
simplifican en gran medida la multiplicación y división de números complejos en forma
polar. El siguiente teorema muestra cómo.
■
Multiplicación y división de números complejos
Si los dos números complejos z 1 y z 2 tienen las formas polares
z 1 r 1 1cos u 1 i sen u 1 2 y z 2 r 2 1cos u 2 i sen u 2 2
entonces
z 1 z 2 r 1 r 2 3cos1u 1 u 2 2 i sen1u 1 u 2 24
Multiplicación
z 1
z 2
r 1
r 2
3cos1u 1 u 2 2 i sen1u 1 u 2 24 1z 2 02
División
Este teorema dice:
Para multiplicar dos números complejos, multiplique los módulos y sume los
argumentos.
Para dividir dos números complejos, divida los módulos y reste los argumentos.
■ Demostración Para probar la fórmula de la multiplicación, simplemente se
multiplican los dos números complejos.
z 1 z 2 r 1 r 2 1cos u 1 i sen u 1 21cos u 2 i sen u 2 2
r 1 r 2 3cos u 1 cos u 2 sen u 1 sen u 2 i1sen u 1 cos u 2 cos u 1 sen u 2 24
r 1 r 2 3cos1u 1 u 2 2 i sen1u 1 u 2 24
En el último paso se emplearon las fórmulas de suma para seno y coseno.
La demostración de la fórmula de división se deja como un ejercicio.
■