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SECCIÓN 7.1 Identidades trigonométricas 529
Ejemplo 1
Simplificación de una expresión trigonométrica
Simplifique la expresión cos t tan t sen t.
Solución
Primero volvemos a escribir la expresión en términos de seno y coseno.
cos t tan t sen t cos t a sen t
cos t b sen t
Identidad recíproca
cos2 t sen 2 t
cos t
1
cos t
sec t
Denominador común
Identidad pitagórica
Identidad recíproca
■
Ejemplo 2
Simplificación mediante combinación
de fracciones
sen u
Simplifique la expresión .
cos u cos u
1 sen u
Solución
Combinamos las fracciones usando un denominador común.
sen u
cos u cos u
1 sen u sen u 11 sen u2 cos2 u
cos u 11 sen u2
sen u sen2 u cos 2 u
cos u 11 sen u2
sen u 1
cos u 11 sen u2
1
cos u sec u
Denominador común
Distribución de sen u
Identidad pitagórica
Cancelación y uso de la
identidad recíproca
■
Demostración de identidades trigonométricas
Muchas identidades provienen de las identidades fundamentales. En los ejemplos que
siguen, aprenderemos cómo demostrar que una ecuación trigonométrica es una identidad,
y en el proceso veremos cómo descubrir nuevas identidades.
Primero, es fácil decidir cuándo una ecuación no es una identidad. Todo lo que necesitamos
hacer es demostrar que la ecuación no se cumple para algunos valores de
la variable (o variables). Por consiguiente, la ecuación
sen x cos x 1
no es una identidad, porque cuando x p/4, tenemos
sen p 4 cos p 4 12
2 12
2 12 1
Para comprobar que una ecuación trigonométrica es una identidad, transformamos
un miembro de la ecuación en el otro mediante una serie de pasos, cada uno de
los cuales es en sí mismo una identidad.