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Trayectoria de un proyectil 817
The Granger Collection
Solución Al sustituir la velocidad inicial dada y el ángulo en las ecuaciones paramétricas
de la trayectoria de un proyectil, se obtiene
x 1150.0 cos 30°2t
x 129.9t
Esta trayectoria se grafica en la figura 2.
y
y 1150.0 sen 30°2t 1 219.82t 2
y 75.0t 4.9t 2
Sustituya
√ 0 150.0, u 30
Simplifique
Galileo Galilei (1564-1642) nació
en Pisa, Italia. Estudió medicina,
pero después abandonó esto a favor
de la ciencia y las matemáticas. A
la edad de 25 años demostró que
los objetos ligeros caen a la misma
velocidad que los más pesados,
lanzando balas de cañón de varios
tamaños desde la torre inclinada de
Pisa. Esto contradijo el entonces
aceptado punto de vista de Aristóteles
de que los objetos más pesados
caen más rápido. También
demostró que la distancia a la que
cae un objeto es proporcional al
cuadrado del tiempo que ha estado
cayendo, y de esto pudo demostrar
que la trayectoria de un proyectil es
una parábola.
Galileo construyó el primer telescopio
y, con él, descubrió las
lunas de Júpiter. Su defensa del
punto de vista de Copérnico de que
la Tierra gira alrededor del Sol
(en vez de estar estacionaria) lo
condujo ante la Inquisición. En ese
entonces un hombre viejo, fue
obligado a retractarse de sus puntos
de vista, pero se dice que murmuró
en voz baja “sin embargo la
Tierra se mueve”. Galileo revolucionó
la ciencia al expresar principios
científicos en el lenguaje de
las matemáticas. Dijo, “El gran libro
de la naturaleza está escrito en
símbolos matemáticos”.
Figura 3
Trayectorias de proyectiles
Figura 2
Trayectoria de una
bala de cañón
Alcance de un proyectil
¿Cómo se puede decir dónde y cuándo la bala de cañón del ejemplo anterior choca
contra el suelo? Puesto que el nivel del suelo corresponde a y 0, se sustituye este
valor para y y se despeja para t.
Establezca y 0
Factorice
Despeje t
La primera solución, t 0, es el tiempo cuando se disparó la bala de cañón; la segunda
solución significa que la bala de cañón golpea el suelo después de 15.3 s de
vuelo. Para ver dónde sucede esto, se sustituye este valor en la ecuación para x, la
ubicación horizontal de la bala de cañón.
La bala de cañón viaja casi 2 km antes de golpear el suelo.
La figura 3 muestra las trayectorias de varios proyectiles, todos disparados con la
misma velocidad inicial pero a diferentes ángulos. De las gráficas se puede observar
que si el ángulo de disparo es demasiado alto o demasiado bajo, el proyectil no viaja
muy lejos.
y
0
0 75.0t 4.9t 2
0 t175.0 4.9t2
t 0 o t 75.0
4.9 15.3
500 x
(metros)
x 129.9115.32 1987.5 m
¨=85*
=75*
¨=60*
¨=45*
¨=30*
=15*
¨=5*
Se intentará hallar el ángulo óptimo de disparo, el ángulo que dispara al proyectil
lo más lejos posible. Utilizaremos los mismos pasos del ejemplo anterior, pero en
x
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