7nxQnvJSe

620 CAPÍTULO 8 Coordenadas polares y vectores
■ Demostración Si u y v son perpendiculares, entonces el ángulo entre ellos
es p/2 y, por lo tanto,
p
u # v 0 u 00v 0 cos
2 0
Por el contrario, si uv 0, entonces
0 u 00v 0 cos u 0
Puesto que u y v son vectores no nulos, se concluye que cos u 0 y, por lo tanto,
u p/2. De modo que u y v son ortogonales.
■
Ejemplo 3
Comprobación de la perpendicularidad
de vectores
Determine si los vectores en cada par son perpendiculares.
a) u 3, 5 y v 2, 8 b) u 2, 1 y v 1, 2
Solución
a) u # v 132122 152182 34 0 , por lo tanto u y v no son
perpendiculares.
b) u # v 122112 112122 0 , de modo que u y v son perpendiculares. ■
Observe que la componente de u a lo
largo de v es un escalar, no un vector.
Componente de u a lo largo de v
La componente de u a lo largo de v (o la componente de u en la dirección de v)
se define como
0 u 0 cos u
donde u es el ángulo entre u y v. En la figura 3 se da la interpretación geométrica de
este concepto. De manera intuitiva, la componente de u a lo largo de v es la magnitud
de la porción de u que apunta en la dirección de v. Observe que la componente
de u a lo largo de v es negativa si p/2 u p.
u
¨
v
u
¨
v
Figura 3
|u| cos ¨
|u| cos ¨
Cuando se analizan fuerzas en física e ingeniería, suele ser útil expresar un vector
como una suma de dos vectores que yacen en direcciones perpendiculares. Por ejemplo,
suponga que un automóvil está estacionado en una entrada inclinada como en la
figura 4. El peso del automóvil es un vector w que apunta directamente hacia arriba.
Se puede escribir
w u v
donde u es paralelo a la entrada y v es perpendicular a la entrada. El vector u es la
fuerza que tiende a hacer rodar al automóvil hacia abajo de la entrada y v es la fuerza
experimentada por la superficie de la entrada. Las magnitudes de estas fuerzas son
las componentes de w a lo largo de u y v, respectivamente.