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802 CAPÍTULO 10 Geometría analítica
Bettmann/Corbis
María Gaetana Agnesi (1718-
1799) es famosa por haber escrito
Instituzioni Analitiche, considerado
como el primer libro de cálculo.
María nació en una familia rica
en Milán, Italia, y fue la mayor de
21 niños. Ella fue una niña prodigio,
ya que tuvo un domino de muchos
idiomas a temprana edad,
incluso latín, griego y hebreo. A la
edad de 20 años publicó una serie
de ensayos sobre filosofía y ciencias
naturales. Después de la muerte
de su madre, se hizo cargo de
educar a sus hermanos. En 1748
Agnesi publicó su famoso libro,
que ella escribió originalmente como
un texto para enseñar a sus hermanos.
En el libro se compilaba y
explicaba el conocimiento matemático
de la época. Contiene muchos
ejemplos elegidos de manera
cuidadosa, uno de los cuales es la
curva conocida en la actualidad como
“bruja” de Agnesi (véase la página
809). Una revisión llamó a su
libro una “exposición por ejemplos
en vez de teoría”. El libro dio a Agnesi
reconocimiento inmediato. El
papa Benedicto XIV le concedió
un puesto en la Universidad de Bolonia,
y le escribió “hemos acordado
que se te debe otorgar la bien
conocida cátedra de matemáticas,
por la que no debes agradecernos,
si no nosotros a ti”. Este nombramiento
era un honor considerablemente
alto para una mujer, puesto
que a muy pocas de ellas se les permitía
asistir a la universidad en ese
(continúa)
Ejemplo 1
Ejemplo de una curva paramétrica
Bosqueje la curva definida por las ecuaciones paramétricas
Solución Para todo valor de t, se obtiene un punto sobre la curva. Por ejemplo,
si t 0, entonces x 0 y y 1, de modo que el punto correspondiente es (0, 1).
En la figura 1 se grafican los puntos (x, y) determinados por los valores de t mostrados
en la siguiente tabla.
Figura 1
Cuando se incrementa t, una partícula cuya posición está dada por las ecuaciones
paramétricas se mueve a lo largo de la curva en la dirección de las flechas.
Si se reemplaza t por t en el ejemplo 1, se obtienen las ecuaciones paramétricas
La gráfica de estas ecuaciones paramétricas (véase la figura 2) es la misma que la de
la curva de la figura 1, pero trazada en dirección opuesta. Por otro lado, si se reemplaza
t por 2t en el ejemplo 1, se obtienen las ecuaciones paramétricas
La gráfica de estas ecuaciones paramétricas (véase la figura 3) es de nuevo la misma,
pero se traza el “doble de rápido”. Así, una parametrización contiene más información
que sólo la forma de la curva; también indica cómo está siendo trazada la curva.
t = −2
t = −1
t x y
2 10 3
1 4 2
0 0 1
1 2 0
2 2 1
3 0 2
4 4 3
5 10 4
y
t = −3
t = 0
1
t = −4
t = 1
x t 2 3t y t 1
x t 2 3t y t 1
x 4t 2 6t y 2t 1
t = −5
5 10
t = 2
t = 1
t = 0
t = 2
Figura 2 Figura 3
x t 2 3t, y t 1 x 4t 2 6t, y 2t 1
x
t = 2
t = 1
y
t = 3
t = 0
1
y
1
t = 4
t = −1
t = 5
5 10
t = −2
5 10
x
t = −1
x
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