7nxQnvJSe

884 CAPÍTULO 12 Límites: presentación preliminar de cálculo
1
(1, 0.5)
Ejemplo 1 Estimar un límite en forma numérica y gráfica
x 1
Deduzca el valor de lím . Compruebe con una gráfica.
xS1 x 2 1
Solución Observe que la función f1x2 1x 12/1x 2 12 no está definida cuando
x 1, pero esto no importa porque la definición de lím xSa f1x2 dice que se consideran
valores de x próximos a a pero diferentes de a. Las siguientes tablas proporcionan valores
de f1x2 (correctos hasta seis decimales) para valores de x que se aproximan a 1
(pero que son distintos de 1).
t
1.0 0.16228
0.5 0.16553
0.1 0.16662
0.05 0.16666
0.01 0.16667
t
0.0005 0.16800
0.0001 0.20000
0.00005 0.00000
0.00001 0.00000
t 2 Si prueba estos cálculos en su calculadora, podría obtener valores distintos, pero
x 1 f1x2
x 1 f1x2
0.5 0.666667 1.5 0.4000000
0.9 0.526316 1.1 0.476190
0.99 0.502513 1.01 0.497512
0.999 0.500250 1.001 0.499750
0.9999 0.500025 1.0001 0.499975
Sobre la base de valores en las dos tablas, se infiere que
(1, 0.5)
x 1
lím
xS1 x 2 1 0.5
Como comprobación gráfica se usa un dispositivo de graficación para producir la
figura 3. Se puede observar que cuando x se aproxima a 1, y se acerca a 0.5. Si se
usan las características ZOOM y TRACE para tener una vista más amplia, como en la
figura 4, se puede observar que cuando x se acerca cada vez más a 1, y se aproxima
más y más a 0.5. Esto refuerza la conclusión.
■
Ejemplo 2 Hallar un límite a partir de una tabla
2t 2 9 3
2t 2 9 3
t 2
Encuentre lím
.
tS0 t 2
Solución En la tabla del margen se listan valores de la función para varios valores
de t cerca de 0. Cuando t se aproxima a 0, los valores de la función al parecer
tienden a 0.1666666 . . . , y por lo tanto, se infiere que
2t 2 9 3
lím
1
tS0 t 2 6
■
¿Qué sucedería en el ejemplo 2 si se hubieran tomado incluso valores cada vez
más pequeños de t? En la tabla del margen se muestran los resultados que proporciona
2t 2 9 3
una calculadora; se puede observar que al parecer algo extraño está sucediendo.
en algún momento se obtendría el valor 0 si se hace a t suficientemente pequeña. ¿Esto
1
1
significa que en realidad la respuesta es 0 en lugar de 6 ? No, el valor del límite es 6,
como se mostrará en la siguiente sección. El problema es que la calculadora dio valores
falsos porque 2t 2 9 es muy cercano a 3 cuando t es pequeña. (De hecho, cuando t
es suficientemente pequeña, un valor de calculadora para 2t 2 9 es 3.000 . . . hasta
los dígitos que la calculadora pueda llevar.)
Algo similar sucede cuando se intenta graficar la función del ejemplo 2 en un dispositivo
de graficación. Los incisos a) y b) de la figura 5 muestran gráficas bastante
0 2
Figura 3
0.6
0.9 1.1
0.4
Figura 4