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414 CAPÍTULO 5 Funciones trigonométricas de números reales
El valor de P
El número p es la relación de la
circunferencia de un círculo a su
diámetro. Desde épocas muy antiguas
se sabe que esta relación es
la misma en todos los círculos. El
primer esfuerzo sistemático para
encontrar una aproximación numérica
de p lo hizo Arquímedes
(alrededor de 240 a.C.), quien demostró
que 7 p 223
71 determi-
22
nando el perímetro de polígonos
regulares inscritos en un círculo y
circunscritos al mismo.
Solución De acuerdo con las propiedades pares-impares y la tabla 1, tenemos
a)
p
sen a
6 b sen p 6 1
2
El seno es impar
b)
p
cos a
4 b cos p 4 12
2
El coseno es par ■
Identidades fundamentales
Las funciones trigonométricas se relacionan entre sí mediante ecuaciones llamadas
identidades trigonométricas. Presentamos las más importantes en el recuadro siguiente.*
Identidades fundamentales
Por el año 480 d.C., el físico
chino Tsu Ch’ung-chih dio la
aproximación
p 355
113 3.141592 . . .
la cual es correcta hasta la sexta
cifra decimal. Este valor se consideró
como la estimación más aproximada
hasta que el matemático
holandés Adrianus Romanus (1593)
utilizó polígonos de más de mil millones
de lados para calcular p con
15 cifras decimales. En el siglo XVII,
los matemáticos empezaron a usar
series infinitas e identidades trigonométricas
en la búsqueda de p.
El inglés William Shanks pasó 15
años (1858-1873) aplicando estos
métodos para calcular p con 707
decimales, pero en 1946 se descubrió
que estas cifras eran erróneas
a partir de la cifra decimal 528. En
la actualidad, con la ayuda de
computadoras los matemáticos en
forma rutinaria determinan p con
millones de cifras decimales.
Identidades recíprocas
csc t 1
sen t
Identidades pitagóricas
tan t sen t
cos t
sec t 1
cos t
cot t cos t
sen t
cot t 1
tan t
sen 2 t cos 2 t 1 tan 2 t 1 sec 2 t 1 cot 2 t csc 2 t
■ Demostración Las identidades recíprocas se infieren inmediatamente de
la definición de la página 408. Enseguida demostramos las identidades pitagóricas.
Por definición, cos t x y sen t y, donde x y y son las coordenadas de un punto
P1x, y2 en el círculo unitario. Puesto que P1x, y2 están sobre el círculo unitario, tenemos
x 2 y 2 1. Por consiguiente
sen 2 t cos 2 t 1
Al dividir ambos miembros entre cos 2 t (siempre que cos t 0), tenemos
sen 2 t
cos 2 t cos2 t
cos 2 t 1
cos 2 t
a sen t
cos t b 2
1 a 1
cos t b 2
tan 2 t 1 sec 2 t
Hemos usado las identidades recíprocas sen t/cos t tan t y 1/cos t sec t. De
manera similar, al dividir ambos miembros de la primera identidad pitagórica entre
sen 2 t (siempre que sen t 0) obtenemos 1 cot 2 t csc 2 t.
■
*Nos apegamos a la convención usual de escribir sen 2 t en lugar de (sen t) 2 . En general, escribimos sen n t en lugar
de (sen t) n para todos los enteros n, excepto n 1. Al exponente n 1 se le asignará otro significado en la
sección 7.4. Naturalmente, la misma convención se aplica a las otras cinco funciones trigonométricas.