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688 CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
PROYECTO PARA UN
DESCUBRIMIENTO
¿Sobrevivirán las especies?
Para estudiar cómo sobreviven las especies, los matemáticos modelan su población
mediante la observación de las diversas etapas de su vida. Por ejemplo,
consideran la etapa en la cual el animal es fértil, la proporción de la población
que se reproduce y la proporción de los jóvenes que sobreviven cada año. En el
caso de ciertas especies hay tres etapas: inmadura, juvenil y adulta. Se considera
que un animal es inmaduro el primer año de su vida; es juvenil el segundo año y
adulto después. Los biólogos dedicados a la conservación han colectado los
siguientes datos de campo para estas especies:
Inmadura Juvenil Adulta
0 0 0.4 Inmadura
A £ 0.1 0 0 § Juvenil
0 0.3 0.8 Adulta
600 Inmadura
X 0 £ 400 § Juvenil
3500 Adulta
Art Wolfe/Stone/Getty Images
Los elementos de la matriz A indican la proporción de la población que sobrevive
para el año próximo. Por ejemplo, la primera columna describe qué sucede
con la población inmadura: ninguna se conserva inmadura, el 10% sobrevive
para convertirse en juvenil y, naturalmente, ninguna se vuelve adulta. La segunda
columna describe qué sucede con la población juvenil: ninguna se vuelve
inmadura, ni se queda como juvenil, y 30% sobrevive a la edad adulta. La tercera
columna describe la población adulta: la cantidad de sus nuevos hijos es 40% de
la población adulta, ningún adulto se vuelve juvenil y 80% sobrevive para vivir
otro año. Los elementos en la matriz de la población X 0 representan la población
actual (año 0) de animales inmaduros, juveniles y adultos.
Sean X 1 AX 0 , X 2 AX 1 , X 3 AX 2 , y así sucesivamente.
1. Explique por qué X 1 da la población en el año 1, X 2 la población en el año 2,
etcétera.
2. Encuentre la matriz de la población para los años 1, 2, 3 y 4. Redondee los
elementos fraccionarios al entero más cercano. ¿Observa alguna tendencia?
3. Demuestre que X 2 A 2 X 0 , X 3 A 3 X 0 , y así sucesivamente.
4. Calcule la población después de 50 años, es decir, determine X 50 . Utilice los
resultados del ejemplo 3 y una calculadora para graficar. ¿Parece que sobrevivirá
la especie?
5. Suponga que el ambiente mejoró de modo que la proporción de inmaduros
que se transforman cada año en juveniles aumenta de 0.1 a 0.3, la proporción
de juveniles que se vuelven adultos se incrementa de 0.3 a 0.7 y que la proporción
de adultos que sobrevive hasta el año siguiente aumenta desde 0.8 a
0.95. Calcule la población después de 50 años con la nueva matriz A. ¿Parece
que la especie sobrevivirá en estas nuevas condiciones?
6. La matriz A de tasa de sobrevivencia anterior se llama matriz de transición.
Dicha matriz se presenta en muchas aplicaciones del álgebra de matrices. La siguiente
matriz de transición T predice las calificaciones de una clase de cálculo
de estudiantes universitarios que deben cursar cuatro semestres de dicha materia.