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692 CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
The Granger Collection
Arthur Cayley (1821-1895) fue
un matemático inglés que desarrolló
la teoría de las matrices. Fue el
primero en utilizar un solo símbolo
como A para representar a una matriz,
con lo cual introdujo la idea de
que una matriz es una sola entidad,
y no una colección de números.
Cayley ejerció como abogado
hasta la edad de 42 años, pero su
principal interés desde que era adolescente
fueron las matemáticas.
Publicó cerca de 200 artículos sobre
el tema. En 1863 aceptó ser catedrático
de matemáticas en Cambridge,
de donde fue maestro hasta
que murió. El trabajo de Cayley
sobre las matrices fue de interés
puramente teórico en su época,
pero en el siglo XX muchos de sus
resultados encontraron aplicación
en la física, las ciencias sociales,
finanzas y otros campos. En la
actualidad, uno de los usos más comunes
de las matrices se da en las
computadoras, en las que se utilizan
para guardar información, para
corrección de errores, manipulación
de imágenes y muchas cosas
más. Estas aplicaciones han hecho
que el álgebra de matrices sea
más útil que nunca.
Solución
a) Empezamos con la matriz 3 6 cuya mitad izquierda es A y cuya mitad derecha
es la matriz identidad.
Luego transformamos la mitad izquierda de esta nueva matriz en la matriz
identidad efectuando la secuencia siguiente de operaciones elementales con
los renglones en toda la matriz nueva:
£
R 2 2R 1 R 2
SSSSSSSO
R 3 3R 1 R 3
1
3
R 3
SSSO
R 1 2R 2 R 1
SSSSSSSO
R 2 2R 3 R 2
SSSSSSSO
1 2 4
2 3 6
3 6 15
Ya transformamos la mitad izquierda de esta matriz en una matriz identidad. Esto
quiere decir que ya convertimos toda la matriz en la forma escalonada reducida.
Observe que para hacerlo tan sistemático como sea posible, primero se cambian los
elementos que se encuentran abajo de la diagonal principal a ceros, justo como
lo haríamos si fuéramos a utilizar la eliminación de Gauss. Luego se cambia cada
elemento de la diagonal principal a 1 multiplicando por la(s) constante(s)
adecuada(s). Para finalizar, el proceso termina al cambiar los elementos
restantes en el lado izquierdo a ceros.
La mitad derecha es ahora A 1 .
3 2 0
A 1 2
£ 4 1 3 §
1 0
b) Calculamos AA 1 y A 1 A, y comprobamos que ambos productos dan la matriz
identidad I 3 .
1 2 4 3 2 0 1 0 0
AA 1 2
£ 2 3 6 § £ 4 1 3 § £ 0 1 0§
3 6 15 1 0
0 0 1
3 2 0 1 2 4 1 0 0
A 1 2
A £ 4 1 3 § £ 2 3 6 § £ 0 1 0§
1 0 3 6 15 0 0 1
1
3
1 2 4
£ 0 1 2
0 0 3
1 2 4
£ 0 1 2
0 0 1
1 0 0
£ 0 1 2
0 0 1
1 0 0
£ 0 1 0
0 0 1
3 2 0
2 1 0§
1 0
3 2 0
2
4 1 3 §
1 0
1
3
1 0 0
2 1 0§
1 0
1
3
1 0 0
0 1 0§
0 0 1
1 0 0
2 1 0§
3 0 1
1
3
1
3
1
3
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