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SECCIÓN 5.5 Modelado del movimiento armónico 445
y
0.2
y=0.2 sen 80πt
Solución
a) De acuerdo con las fórmulas de amplitud, periodo y frecuencia obtenemos
amplitud 0 0.2 0 0.2
0
_0.2
Figura 5
1
2
t
(s)
periodo 2p
80p 1
40
frecuencia 80p
2p 40
b) La gráfica de V se muestra en la figura 5.
c) Si el músico aumenta la intensidad se incrementa la amplitud. De este modo el
número 0.2 se reemplaza por un número mayor.
d) Si la nota es apagada, entonces la frecuencia disminuye. Por lo tanto, el coeficiente
de t es menor que 80p.
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Ejemplo 3
Modelado de un resorte que vibra
4 cm
Una masa pende de un resorte. El resorte está comprimido y mide 4 cm. Luego se
1
suelta. Se observa que la masa regresa a la posición comprimida después de 3
de segundo.
a) Encuentre una función que modele el desplazamiento de la masa.
b) Grafique el desplazamiento de la masa.
Posición
de reposo
Solución
a) El movimiento de la masa está representado por una de las ecuaciones del
movimiento armónico simple. La amplitud del movimiento es 4 cm. Puesto que
esta amplitud se alcanza en el tiempo t 0, una función adecuada que modele
el desplazamiento es de la forma
y a cos vt
Como el periodo es p 1 3, podemos determinar v a partir de la ecuación
siguiente:
y
4
y=4 ç 6πt
periodo 2p v
1
3 2p v
v 6p
Periodo 1 3
Despeje de v
Entonces, el movimiento de la masa está modelado por la función
0
1
12
1
6
1
4
1
3
t
y 4 cos 6pt
_4
Figura 6
donde y es el desplazamiento desde el punto de reposo en el tiempo t. Observe
que cuando y 0, el desplazamiento es y 4, como era de esperarse.
b) La gráfica del desplazamiento de la masa en el tiempo t se ilustra en la
figura 6.
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