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272 CAPÍTULO 3 Funciones polinomiales y racionales
68. Forma anidada de un polinomio Desarrolle Q para
probar que los polinomios P y Q son los mismos.
P1x2 3x 4 5x 3 x 2 3x 5
Q1x2 1113x 52x 12x 32x 5
Intente evaluar P122 y Q122 en su cabeza, usando las formas
dadas. ¿Cuál es más fácil? Ahora escriba el polinomio
R1x2 x 5 2x 4 3x 3 2x 2 3x 4 en forma
“anidada”, como el polinomio Q. Use la forma anidada para
determinar R132 en su cabeza.
¿Vea cómo calcular con la forma anidada sigue los mismos
pasos aritméticos que calcular el valor de un polinomio
con la división sintética?
3.3 Ceros reales de polinomios
El teorema del factor indica que hallar los ceros de un polinomio es en realidad lo
mismo que factorizarlo en factores lineales. En esta sección se estudian algunos métodos
algebraicos que ayudan a encontrar los ceros reales de un polinomio y, por lo tanto,
a factorizar el polinomio. Se comienza con los ceros racionales de un polinomio.
Ceros racionales de polinomios
Para entender este teorema, considérese el polinomio
P1x2 1x 221x 321x 42 Forma factorizada
x 3 x 2 14x 24 Forma desarrollada
De la forma factorizada se puede observar que los ceros de P son 2, 3 y 4. Cuando se
desarrolla el polinomio, la constante 24 se obtiene al multiplicar 122 132 4.
Esto significa que los ceros de un polinomio son factores del término constante. Lo
siguiente generaliza esta observación.
Teorema de ceros racionales
Si el polinomio P1x2 a n x n a n1 x n1 . . . a 1 x a 0 tiene coeficientes
enteros, entonces todo cero racional de P es de la forma
p
q
donde p es un factor del coeficiente constante a 0
y q es un factor del coeficiente principal a n .
■ Demostración Si p/q es un cero racional, en términos mínimos, del polinomio
P, entonces se tiene
a n a p n
q b a n1 a p n1
q b . . . a 1 a p q b a 0 0
a n p n a n1 p n1 q . . . a 1 pq n1 a 0 q n 0
p1a n p n1 a n1 p n2 q . . . a 1 q n1 2 a 0 q n
Multiplique por q n
Reste a 0 q n y factorice
el miembro izquierdo
Ahora p es un factor del lado izquierdo, así que también debe ser un factor del lado
derecho. Puesto que p/q está en términos mínimos, p y q no tienen factor común y,
por lo tanto, p debe ser un factor de a 0 . Una demostración similar muestra que q es
un factor de a n .
■
Se puede observar del teorema de ceros racionales que si el coeficiente principal
es 1 o 1, entonces los ceros racionales deben ser factores del término constante.