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808 CAPÍTULO 10 Geometría analítica
47–50 ■ Compare las ecuaciones paramétricas con las gráficas
marcadas I-IV. Dé razones para sus respuestas.
47. x t 3 2t, y t 2 t
48. x sen 3t, y sen 4t
punto (a, 0) como se muestra en la figura. La curva trazada
por P se llama hipocicloide.
y
49. x t sen 2t, y t sen 3t
50.
I
x sen1t sen t2, y cos1t cos t2
y
II
y
0
C
¨
b
(a, 0)
x
0 x
0 x
a) Muestre que las ecuaciones paramétricas para la hipocicloide
son
III
y
IV
y
x 1a b2 cos u b cos a a b u b
b
y 1a b2 sen u b sen a a b u b
b
0
x
b) Si a 4b, la hipocicloide se llama astroide. Muestre
que en este caso las ecuaciones paramétricas se pueden
reducir a
0 x
51. a) En el ejemplo 6 suponga que el punto P que traza la curva
no está sobre el borde del círculo, sino en un punto
fijo dentro del borde, a una distancia b del centro (con
b a). La curva trazada por P se llama epicicloide
(o trocoide acortada). Muestre que las ecuaciones paramétricas
para la epicicloide son
x au b sen u
y a b cos u
b) Bosqueje la gráfica con a 3 y b 2.
x a cos 3 u
y a sen 3 u
Bosqueje la curva. Elimine el parámetro para obtener
una ecuación para el astroide en coordenadas rectangulares.
54. Si el círculo C del ejercicio 53 rueda en el exterior del círculo
más grande, la curva trazada por P se llama epicicloide.
Encuentre ecuaciones paramétricas para el epicicloide.
55. En la figura, el círculo de radio a es estacionario y, por cada
u, el punto P es el punto medio del segmento QR. La curva
trazada por P para 0 u p se llama curva de arco. Encuentre
ecuaciones paramétricas para esta curva.
52. a) En el ejercicio 51 si el punto P se localiza fuera del
círculo a una distancia b del centro (con b a),
entonces la curva trazada por P se llama cicloide
alargada. Muestre que las ecuaciones paramétricas para
la cicloide alargada son las mismas que las ecuaciones
para la epicicloide.
b) Bosqueje la gráfica para el caso donde a 1 y b 2.
53. Un círculo C de radio b rueda en el interior de un círculo
más grande de radio a centrado en el origen. Sea P un punto
fijo en el círculo más pequeño, con posición inicial en el
y
2a
a
0
¨
Q
P
R
y=2a
x