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SECCIÓN 3.6 Funciones racionales 311
x 2
x 2x 3 2x 2 0x 3
x 3 2x 2 3
Ejemplo 9
Grafique la función racional
Comportamiento extremo de una función racional
y describa su comportamiento extremo.
Solución
r1x2 x3 2x 2 3
x 2
FACTORIZAR: y 1x 121x 2 3x 32
x 2
INTERSECCIONES CON x: 1, de x 1 0 (El otro factor en el numerador no
tiene ceros reales.)
3
INTERSECCIONES CON y: , porque r102 03 2 # 0 2 3 3
2
0 2 2
ASÍNTOTA VERTICAL: x 2, del cero de denominador
COMPORTAMIENTO CERCA DE LA ASÍNTOTA VERTICAL: y q cuando
x 2 y y q cuando x 2
ASÍNTOTA HORIZONTAL: ninguna, porque el grado del numerador es mayor que
el grado del denominador
COMPORTAMIENTO EXTREMO: dividiendo (véase el margen), se obtiene
r1x2 x 2 3
x 2
Esto muestra que el comportamiento extremo de r es parecido al de la parábola
y x 2 porque 3/1x 22 es pequeño cuando 0 x 0 es grande. Es decir, 3/1x 22 0
cuando x q. Esto significa que la gráfica de r estará cerca de la gráfica de
y x 2 para 0 x 0 grande .
GRÁFICA: en la figura 11(a) se grafica r en un rectángulo de visión pequeño; se
pueden ver las intersecciones, las asíntotas verticales y el mínimo local. En la figura
11(b) se grafica r en un rectángulo de visión más grande; aquí la gráfica casi se
asemeja a la de una parábola. En la figura 11(c) se grafican tanto y r1x2 como
y x 2 ; estas gráficas están muy cerca entre sí excepto cerca de la asíntota vertical.
20
200
20
_4 4
_30 30
y=
_8 8
Figura 11
_20
a)
r1x2 x3 2x 2 3
x 2
Aplicaciones
_200
b)
Las funciones racionales ocurren con frecuencia en aplicaciones científicas de álgebra.
En el siguiente ejemplo se analiza la gráfica de una función de la teoría de electricidad.
_5
c)
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