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860 CAPÍTULO 11 Sucesiones y series
24. Una sucesión está definida recursivamente por medio de
a n1 3a n 8 y a 1 4. Plantee una fórmula explícita para
a n y, luego, aplique la inducción matemática para demostrar
que la fórmula que plantea es cierta.
25. Demuestre que x y es un factor de x n y n para todos los
números naturales n.
3Sugerencia: x k1 y k1 x k 1x y2 1x k y k 2y4
26. Demuestre que x y es un factor de x 2n1 y 2n1 para
todos los números naturales n.
27–31 ■ El símbolo F n denota el n-ésimo término de la sucesión
de Fibonacci tratada en el sección 11.1. Aplique la inducción
matemática para demostrar el enunciado.
27. F 3n es par para todos los números naturales n.
28. F 1 F 2 F 3 ... F n F n2 1
29. F1 2 F2 2 F 3 2 ... F n 2 F n F n1
30. F 1 F 3 ... F 2n1 F 2n
31. Para todo n 2,
c 1 1 n
1 0 d c F n1 F n
d
F n F n1
32. Sea a n el n-ésimo término de la sucesión definida en forma
recursiva por
a n1 1
1 a n
y a 1 1. Determine una fórmula para a n en términos de los
números de Fibonacci. Demuestre que la fórmula que determinó
es válida para todos los números naturales.
33. Sea F n el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.
Determine y demuestre una desigualdad que relaciona n y F n
para los números naturales n.
34. Determine y demuestre una desigualdad que relacione
100n y n 3 .
b) n 2 n para todo n 2.
c) 2 2n1 1 es divisible entre 3 para todo n 1.
d) n 3 1n 12 2 para todo n 2.
e) n 3 n es divisible entre 3 para todo n 2.
f) n 3 6n 2 11n es divisible entre 6 para todo n 1.
36. ¿Todos los gatos son negros? ¿Qué es lo que está mal
en la siguiente “demostración” mediante inducción matemática
de que todos los gatos son negros? Sea P1n2 el enunciado:
en cualquier grupo de n gatos, si uno es negro, entonces
todos ellos son negros.
Paso 1 La proposición es evidentemente cierta para n 1.
Paso 2 Suponga que P1k2 es verdadera. Demostremos que
P1k 12 es verdadera.
Suponga que tenemos un grupo de k 1 gatos,
uno de los cuales es negro; llamémosle Medianoche.
Quitemos a un gato del grupo, a Chispa. Nos quedamos
con k gatos, uno de los cuales (Medianoche)
es negro, entonces, según la hipótesis de inducción,
todos los k gatos del grupo son negros. Ahora regresemos
a Chispa al grupo y saquemos a Medianoche.
De nuevo tenemos un grupo de k gatos, todos los
cuales, excepto posiblemente Chispa, son negros.
Luego, de acuerdo con la hipótesis de inducción,
Chispa debe ser también negro. Entonces,
todos los k 1 gatos del grupo original son
negros.
Por lo tanto, por inducción P1n2 es verdadera para todo n.
Puesto que todos han visto por lo menos un gato negro, se
infiere que todos los gatos son negros.
Descubrimiento • Debate
35. ¿Verdadero o falso? Determine si las proposiciones son
verdaderas o falsas. Si piensa que la proposición es verdadera,
demuéstrelo. Si piensa que es falsa, proporcione un
ejemplo de dónde falla.
a) es primo para todo n.
p1n2 n 2 n 11
Media-
Noche
Chispa
11.6 Teorema del binomio
Una expresión de la forma a b se llama binomio. Aunque en principio es fácil elevar
a a b a cualquier potencia, elevarla a una potencia muy alta sería tedioso. En
esta sección se determina una fórmula que indica el desarrollo de 1a b2 n para cualquier
número natural n y luego se demuestra mediante inducción matemática.