Matemáticas aplicadas

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Repaso del capítulo 14 615 Problemas de repaso del capítulo 14 616 ♦ CASO DE ESTUDIO 618 15 INTEGRACIÓN 620 15-1 Antiderivadas 621 15-2 Método de sustitución 629 15-3 Tablas de integrales 636 15-4 Integración por partes 640 Repaso del capítulo 15 644 Problemas de repaso del capítulo 15 645 ♦ CASO DE ESTUDIO 648 16 LA INTEGRAL DEFINIDA 650 16-1 Áreas bajo curvas 651 16-2 Más sobre áreas 660 16-3 Aplicaciones en la administración y la economía 669 16-4 Valor promedio de una función 680 16-5 Integración numérica (sección opcional) 683 16-6 Ecuaciones diferenciales: una introducción 689 16-7 Ecuaciones diferenciales separables 698 16-8 Aplicaciones a probabilidad (sección opcional) 704 Repaso del capítulo 16 713 Problemas de repaso del capítulo 16 714 ♦ CASO DE ESTUDIO 717 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 719 17-1 Funciones y dominios 720 17-2 Derivadas parciales 730 17-3 Aplicaciones para análisis en la administración 737 17-4 Optimización 745 17-5 Multiplicadores de Lagrange (sección opcional) 751 17-6 Método de mínimos cuadrados 759 Repaso del capítulo 17 766 Problemas de repaso del capítulo 17 767 ♦ CASO DE ESTUDIO 771 Apéndices 773 Soluciones a problemas con número impar 791 Índice 807 CONTENIDO ix
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EJERCICIOS 1-6 47. p 2 pq 20q 2 4
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denominador. Consideremos la primer
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EJEMPLO 4 Simplifique 2 x 1 x 1
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☛ 36. Simplifique 4 x x 2 2 1
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x2 x 2 2x 3 31. x 2 4 2x 2
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PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 1
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CASO DE ESTUDIO ÁLGEBRA Y ALGUNOS
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2-1 ECUACIONES LINEALES Una ecuaci
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Como un segundo ejemplo, considerem
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Una ecuación polinomial de grado 1
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☛ 4. Despeje r: a S 1 r Soluci
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2-2 APLICACIONES DE ECUACIONES LINE
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Agregando su salario base, obtenemo
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☛ 9. En el ejemplo 7, si 400 litr
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todo que se utilice, la primera eta
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La ecuación considerada al expresa
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☛ 14. Resuelva las ecuaciones: a)
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Pero la expresión 4 no tiene senti
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Solución Si denotamos con x pulgad
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costo para la industria de producir
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Así, 0.75 1.75 1 R 00 1 R
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REPASO DEL CAPÍTULO 2 Términos, s
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CASO DE ESTUDIO LA EDAD DE DIOFANTO
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3-1 CONJUNTOS E INTERVALOS Empecemo
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Ejemplo 1 a) Si N denota el conjunt
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☛ 5. ¿Las proposiciones siguient
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m) Si A B y B A, entonces A B. n
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después de cambiar su signo, sin a
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Solución Ante todo, debemos elimin
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Solución Sea x el número de empaq
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intervalos, x 4, 4 x 1 y x 1. En
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la cuadrática, tenemos las raíces
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(120 10x) por semana. De modo que
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Solución De acuerdo con la definic
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( 5 0 ) 5 ) 5 0 ( 5 x 5 5 x 5 x
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⏐ab⏐ ⏐a⏐ ⏐b⏐ (3) a b
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PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 3
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CASO DE ESTUDIO ¿COMPRAR O RENTAR
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4-1 COORDENADAS CARTESIANAS Una rel
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y Segundo cuadrante Primer cuadrant
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Solución Identificamos los dos pun
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EJEMPLO 4 Dibuje la gráfica de la
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(12-15) Encuentre la ecuación que
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Debe observarse que la pendiente de
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Usando la fórmula punto-pendiente,
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Con base en el estudio anterior, po
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☛ 11. Determine los puntos en don
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4-3 APLICACIONES DE ECUACIONES LINE
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La gráfica de la ecuación (3) en
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drán adquirirlo, mientras que si e
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milla es 4y millones de dólares. C
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23. (Zoología) El peso promedio W
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☛ 16. Resuelva el sistema siguien
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Usando alguno de los métodos de so
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☛ 19. ¿Cuántas soluciones tiene
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de y libras de almendras a $1.60 la
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26. (Asignación de máquinas) Una
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EJEMPLO 2 (Análisis del punto de e
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☛ 24. Si los costos diarios de un
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tas entre precio y cantidad, y surg
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☛ 26. En el ejemplo 7, grafique l
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a fue el doble de lo que invirtió
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CAPÍTULO 5 Funciones y sus gráfic
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Leemos f (x) como “f de x”; se
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EJEMPLO 5 Consideremos f (x) 2 0.
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☛ 5. Con respecto a las gráficas
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☛ 7. ¿En cada caso, cuál es el
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☛ 10. Grafique la función f, en
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En general, cualquier función raci
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atmosférica en cierta ciudad varí
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☛ 11. Dé las coordenadas del vé
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☛ 13. Sea la parábola y ax 2 b
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☛ 15. En el ejemplo 4, suponga qu
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2. n 2 l : Ahora, f (x) ax 1/ 2
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ya habíamos considerado son ejempl
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☛ 19. Determine si las ecuaciones
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ser x y y no negativas en la práct
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6 y y 2 x 4 2 y x 2 2 0 2 4 6 x
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(16-23) Encuentre la ecuación de c
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Ya que su denominador se hace cero
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I 300p 2p 2 300 1 2 (300 x)
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Estas dos últimas ecuaciones son f
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☛ 26. Dada y f (x) como sigue, e
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☛ 29. Poniendo una restricción a
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j) La gráfica de cualquier funció
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CASO DE ESTUDIO ¿CUÁNDO RECOLECTA
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6-1 INTERÉS COMPUESTO Y TEMAS RELA
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EJEMPLO 3 (Composición trimestral)
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Deseamos calcular el valor de R par
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TABLA 2 p 1 1 p p 1 2 2 2.25 10
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suma Q la cual, si se recibe en el
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38. (Composición continua) Una inv
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del punto sobre la curva que corres
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y a < 1 (0, 1) y = a x 0 x FIGURA 4
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☛ 13. Si ce 0.05t c(1 i) t para
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La función a x sólo está definid
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☛ 16. Escriba en forma exponencia
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c) log 2 (18) log 2 (2 3 2 ) log
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☛ 20. Simplifique las expresiones
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Demostración de las propiedades b
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83. (Función de costo) Una compan
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Solución Deseamos encontrar el val
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en donde t es el tiempo medido en a
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Así, con el propósito de encontra
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y y y m m 1 Ce k(200) 1 C(e 10
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cir, n 70/R). Calcule n exactament
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En t 0, el 2% de los agricultores
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43. (Inversiones) Cierta cantidad s
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CASO DE ESTUDIO ANTIGÜEDAD DE LOS
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Una sucesión es una lista ordenada
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Esta cantidad T n da el valor de la
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☛ 5. En una PA finita, demuestre
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EJERCICIOS 7-1 (1-4) Encuentre los
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De manera similar, el valor de la i
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☛ 10. Vuelva a resolver el ejempl
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Así que el valor total del plan al
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23. (Depreciación) Una máquina se
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Otra vez, los términos de esta sum
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Esto es, si una cantidad igual a $5
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Por ejemplo, el ejemplo 2 puede res
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8% anual y debe liquidarlo en pagos
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47. (Hipoteca de una casa) La casa
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EJEMPLO 2 Escriba los primeros cuat
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y así sucesivamente. De forma clar
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La solución y n ca n de la ecuaci
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EJEMPLO 9 Cada mes Jane deposita $1
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Balance después de n pagos Balanc
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Con base en el teorema 2, con a 1.
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23. y n y n1 2 24. y n 1 2 y n
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n x 1 n x j n x k , ... i1 j1 k
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☛ 31. En el ejemplo 3, determine
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o bien, n 3 3 n k1 k 2 3 n(n 1
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24. Haciendo uso de la identidad k
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25. (Depreciación) Una computadora
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CAPÍTULO 8 Álgebra de matrices En
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☛ 1. ¿Cuál es el tamaño de la
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1 3 ☛ 3. Si A y 4 2 5 2 B ,
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(15-24) Determine los valores de la
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10 B 8 Por consiguiente, el costo
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Obsérvese que al formar la matriz
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De este ejemplo es claro que la mul
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entonces, esta ecuación matricial
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11. 12. 13. 15. 16. 17. 18. 1 0 2 3
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pueblos. Sea a ij la línea telefó
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☛ 12. Escriba la matriz aumentada
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Solución La matriz aumentada de es
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☛ 15. Utilice el procedimiento de
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8. 2u 3 4w 13 3 u w 6 3u 2
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La solución del ejemplo 1 es sólo
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Es claro por los ejemplos de esta s
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4u 2u 3w 15 5u 2 7w 31 3x 2y
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*21. AX C *22. XA D *23. AX B *2
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CASO DE ESTUDIO LOS NIÑOS Y LAS NI
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CAPÍTULO Inversas y determinantes
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o bien, Ahora la ecuación AB I im
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Puede observarse que los elementos
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A 1 (AX) A 1 B. Usando la propieda
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2 3 4 1 2 3 9. 1 2 0 10. 2 1 4
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En la tabla 1 advertimos que con el
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EJEMPLO 1 (Modelo insumo-producto)
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TABLA 4 Agri- Bienes manu- Demandas
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si el partido A o B ganará la elec
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L L 0.2 C (0.7) (0.2) = 0.14 D 0.7
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☛ 12. Dada la matriz de transici
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mientras que el 20% de los que usan
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☛ 14. Dada la matriz de transici
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A P M A P M 0.8 0.1 0.1 0.2 0.8 0
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☛ 16. En el determinante 2 0 1 4
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☛ 18. Evalúe el determinante 2 1
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1 5 3 7 2 1 11 4 9 3 Puesto que 0
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43. 2x y z 0 44. x 3y z 0 x
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EJEMPLO 3 Calcule A 1 si A es la ma
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En consecuencia, la inversa de B (o
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(29-34) Desarrolle los determinante
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CASO DE ESTUDIO CODIFICACIÓN DE ME
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10-1 DESIGUALDADES LINEALES La desi
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Dividimos ahora ambos lados entre 3
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Esta desigualdad se satisface para
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EJERCICIOS 10-1 (1-6) Bosqueje las
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TABLA 1 Ensamblado Acabado Utilidad
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☛ 6. En las figuras 7 u 8, dibuje
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La región factible satisface todas
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(Los costos están dados en cientos
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En la parte b), las líneas con Z c
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cada centro de distribución están
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De manera similar, las variables de
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Estas ecuaciones pueden resumirse p
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EJEMPLO 4 Un problema de programaci
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sucesión de operaciones R 2 3R 1
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La segunda solución no es aceptabl
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Entonces, las dos operaciones por r
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☛ 15. Resuelva el siguiente probl
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De esta manera, las operaciones ent
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☛ 16. Utilice el método símplex
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25. (Plan de producción) En el pro
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Este plan utiliza todas las horas d
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11-1 INCREMENTOS Y TASAS El cálcul
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y f(x x) f(x) En forma alternati
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EJEMPLO 5 (Costo, ingresos y utilid
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☛ 4. Si la distancia recorrida en
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11-2 LÍMITES En el ejemplo 6 de la
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Otra vez, es claro que f(x) está c
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gráfica con coordenadas x aproxim
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☛ 8. Utilizando los teoremas 1, 2
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Solución Haciendo x 1 en la fórmu
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f(x) x x 4 3 1 1 en x 1.2, 1.
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d y lím y , d C lím C dx
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y D 1, la función cúbica en el e
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16. Determine du/dt si: a) u 2t 3
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☛ 16. Utilice la fórmula de la p
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DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2 Sea y
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EJERCICIOS 11-4 (1-46) Derive las s
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Costo marginal Suponga que el fabri
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C' (x) 40 (200, 40) 30 (20, 29.2) 2
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EJEMPLO 4 (Ingreso marginal) Determ
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Rendimiento marginal Suponga que un
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20. (Utilidades marginales) El edit
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y y f (x) x → c x → c FIGURA
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☛ 24. ¿Para qué valores de h y
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ne una línea tangente bien definid
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7. lím 4 3x x→4/3 ⏐x 1⏐ 9.
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Para y f(x): d y f′(x) lím
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CASO DE ESTUDIO PROPAGACIÓN DE UNA
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CAPÍTULO 12 Cálculo de derivadas
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☛ 1. Utilice la regla del product
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(x 1)(x EJEMPLO 6 Determine dy/dx
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Dividiendo entre x, obtenemos
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TEOREMA 1 (REGLA DE LA CADENA) Si y
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Aquí el interior es (t 2 3) y el
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En consecuencia, Si x 2, el valor
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7. h(t) t 2 a 2 8. F(x) 3 x 3
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☛ 11. Utilice su calculadora con
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En forma verbal podemos decir ☛ 1
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EJEMPLO 5 Calcule dy/dx si y ln(x
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TABLA 2 Resumen de la regla de la c
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ln p ln (1 p) k(t C) en donde k
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☛ 17. Calcule las derivadas hasta
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7. Determine g (4) (u) si g(u) d 8
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x 1 30. f(x) , en x 3 1 x d 2
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así que, la propensión marginal a
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13-1 LA PRIMERA DERIVADA Y LA GRÁF
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EJEMPLO 1 Encuentre los valores de
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☛ 3. Vuelva a resolver el ejemplo
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y 0 x 1 P c x y 0 x 1 Q c y x 2 f(
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Claramente, f(x) no está acotada c
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y (0) y () () () () 0 c x 0 c x a)
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Para un punto crítico, f(x) 0; po
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y y f(x) f (x) f (x 2 ) f (x 1 ) 0
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☛ 10. Determine los intervalos en
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otro de x x 1 , f(x) cambia de sig
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Así el único valor máximo local
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23. C(x) 1500 25x 0.1x 2 0.004x
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y (1, 3) 3 5 ( , ) 2 2 (2, 2) x (0,
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y debido al número negativo que es
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☛ 16. Vuelva a resolver el ejempl
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Seguiremos estos pasos en otro ejem
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Este último valor representa el ni
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con tres cifras significativas. En
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Unidades almacenadas x x/2 } } } Ti
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18. (Costo marginal mínimo) Una em
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V(t)e rt , donde r R/100 y R es la
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y 20 (2, 17) (0, 1) 10 (1, 12) (3,
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C 20,000 10,000 (2.3, 15743) 2.30
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13-7 ASÍNTOTAS En la primera parte
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☛ 26. Evalúe: 1 a) lím 3 x→
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y y L L 0 x 0 x FIGURA 34 Solución
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Debe señalarse que esta notación
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Conforme x se vuelve grande, el té
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55. y x 2 1 x 56. y x2 1 x2
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2. y 3x 2 12x 5 3. y 2x 3 3x 2
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número de veces que se ha realizad
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cuya gráfica es Si se realizan los
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14-1 DIFERENCIALES Sea y f (x) una
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Por tanto, como x dx, tenemos TR
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☛ 4. Una compañía tiene una fun
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año, a el costo de preparación de
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Derivando con respecto a x, resulta
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y dy dx 0 (0, 2) dx dx dy 0 dy 0
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☛ 12. Una forma alterna para dete
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Ahora, derivamos ambos lados con re
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En consecuencia, la derivada logar
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☛ 16. Determine la elasticidad de
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☛ 18. Para la relación x 12 p
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1. Establezca la veracidad o falsed
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CASO DE ESTUDIO CURVA DE APRENDIZAJ
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CAPÍTULO 15 Integración Utilidade
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se utiliza para denotar a un miembr
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Puesto que 1/x es la derivada de ln
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DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2 d d x
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11. e x x e 12. 3x xe2 ex 2 4
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iable de integración. Tal método
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☛ 9. Establezca las sustitución
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☛ 10. Utilizando una sustitución
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75. (Tasa de desempleo) Durante una
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En nuestro ejemplo, n 2, a 3 y b
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1 y *22. dx *24. x ln x(1 ln x)
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una función logarítmica, podemos
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21. x e x ax 22. x e x dx x e 2x
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m 33. 2 9 dm 2m dt 34. t 2 10t
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CASO DE ESTUDIO UTILIDADES EN LA PR
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CAPÍTULO 16 La integral definida U
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Solución a) Tenemos que x 4 dx x
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☛ 3. Cálcule el área entre el e
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EJEMPLO 7 Realice las siguientes op
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y y y f (x ) (x x, f (x x )) [x,
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46. 1 e d d x ln x x 2 1 dx 4
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tos en que la gráfica y f(x) cruz
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EJEMPLO 3 Determine el área entre
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y y x 2 0 2 x 1 2 (1, 1) y 1/x FI
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☛ 13. Evalúe las integrales impr
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y 1.0 (1, 1) 0.5 y x y 1 1 5 6 x2
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y y f (x ) ax b ; (b 0) 0 x FIGU
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Observación Puesto que t 0 es el
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p p 1 x 1 x 1 x 0 A B p g (x ) p 0
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☛ 18. Calcule el superávit del c
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sa de interés nominal R, entonces,
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☛ 20. En el ejemplo 3, calcule la
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y f (x ) y 1 y 2 y 3 y 4 y n4 y n
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Forma práctica de la regla de Simp
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8 2 8 2 h f(x) dx [X 2O 4E] 3
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☛ 23. Proporcione el orden de las
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en donde hemos multiplicado ambos l
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Pero, del análisis anterior, ya sa
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☛ 27. Una población tiene una ta
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*35. (Crecimiento de capital) Una i
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Para determinar C utilizamos la con
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co es expresar el integrando en té
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3ky 2/3 (y1/3 m y 1/3 ) 12. dy/dt
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☛ 31. Para la función de densida
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Una segunda distribución de probab
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☛ 35. Determine el valor esperado
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10. Dado que f(x) 1 6 (4x 1) en
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a d F(x) dx F(b) F(a) d x a f(x
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33. (Duración de llamadas telefón
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2530 2529.5 2529 2528.5 2528 2527.5
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17-1 FUNCIONES Y DOMINIOS Hasta aho
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y (0, 2) (1, 2) (0, 0) x 2 y 2 4
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☛ 3. Trace los puntos (0, 0, 4),
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z y x 2 y 2 4 (c 0) x 2 y 2 15
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x 1000(5 pe kA ) en donde k 0.00
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terrenos de roca dura. El costo del
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y la tangente a esta curva en x x
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Las dos derivadas mixtas de segundo
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☛ 9. Calcule w x , w y y w z para
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☛ 10. Repita el ejemplo 1, si el
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La derivada parcial x A /p A puede
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☛ 13. Dada f(x, y) x 2 y 3 aprox
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12. x A 200p B /p 2 A ; x B 300p
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☛ 15. Determine los puntos críti
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EJEMPLO 2 Encuentre los extremos lo
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21. f(x, y) xe x ye 2y 22. f(p, q
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Sea p el costo del concreto por pie
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y también De las primeras tres ecu
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Pero, Costo unitario de la mano de
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EJERCICIOS 17-5 (1-10) Mediante el
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TABLA 1 Número de automóviles 18
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Por supuesto, no podemos calcular E
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☛ 22. Si estudió la sección 7.5
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TABLA 11 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
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10. Demuestre que si v f(x y, y
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33. (Mínimos cuadrados para funcio
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Puesto que, y y ∂ 2 P(x 1 , x 2 )
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APÉNDICE II Tabla de integrales Ob
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Integrales que contienen a 2 x 2 1
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62. x(x 2 a 2 ) 3/2 dx 1 5 (x2
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APÉNDICE III Tablas numéricas TAB
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TABLA A.3.2 Logaritmos naturales 0.
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TABLA A.3.3 Funciones exponenciales
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TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
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3. 7 f) Falso; el discriminante de
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n) Verdadero o) Verdadero 3. Par 5.
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27. $171,825 29. z n c 2 3 n 31
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3. 5. i) Falso. A partir de la desi
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41. 5/3, si el precio sube de $2 a
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59. 65. 1 9 6 3 10 5 1 5 10 0.8 0.6
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5t 63. d(t) 10t 5. 4 , cuando ha
Page 822 and 823:
Índice A Abscisa, 123 o coordenada
Page 824 and 825:
promedio, 476, 482, 503, 682, 683 c
Page 826 and 827:
Elemento(s) identidad, 6 pivote, 42
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Insecticida, 716 Instante de colisi
Page 830 and 831:
O Objeto en movimiento, 526 Oferta
Page 832 and 833:
Símbolo de desigualdades, 92 Siste
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Matemáticas aplicadas

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