Matemáticas aplicadas

En la tabla 1 advertimos que con el objetivo de producir 200 unidades, la industria
P emplea 60 unidades de su propio producto y 100 unidades del producto de
Q. Así, la elaboración por parte de la industria P de x 1
unidades requiere la utilización
de
60 20 x 0 1
unidades de su propio producto y 1 2 0 x 0 0 0 1
unidades del producto de Q. En
forma análoga, para producir x 2
unidades, la industria Q debería usar
64 16 x 0 2
unidades
del producto de P y
48 16 x 0 2
unidades de su propio producto. Por lo que tenemos la siguiente
ecuación:
Producción total
de la industria P
Unidades
Unidades
Demanda final
consumidas por P consumidas por Q
Es decir,
x 1
2
6
0
0
0
x 1
1
6
6
4
0
x 2
70
dado que la nueva demanda final es de 70 unidades.
De manera similar, de x 2
unidades producidas por la industria Q, 1 2 0 0 0 0 x 1 unidades
las utiliza P y 1
4
6
8
0
x 2
unidades las emplea Q misma. Así,
Producción total
de la industria Q
Unidades
Unidades
Demanda final
consumidas por P consumidas por Q
Esto es,
x 2
1 2 0 0 0 0 x 1 1 4 6 8 0 x 2 60
Estas dos ecuaciones pueden escribirse en forma matricial como
En consecuencia,
en donde
x
1
x
1
60
60
64 200 160 70
x 1 x
2 0 0 0 0 1 4 6 8 2
0 2
x 2
X AX D (1)
60
64 X
x
1
, A
200 160
y D
60
1
2 0 0 0 0 1 4 6 8 0
Llamaremos a X la matriz de producción,a D la matriz de demanda y a A la matriz
insumo-producto. Los elementos de la matriz A se denominan coeficientes de
insumo-producto.
Consideremos la interpretación de los elementos de la matriz insumo-producto.
Como de costumbre, denotaremos por a ij
a un elemento arbitrario de A. Nótese
que de las 200 unidades de los insumos totales de la industria P, 60 constan de unidades
de su propio producto y 100 corresponden a unidades del producto de Q. Por
ello, los elementos
60 200 y 1 2 0
0 0 0
de la primera columna de la matriz insumo-producto representan
la proporción de los insumos de P que provienen de las industrias P y Q,
respectivamente. En general, a ij
representa la parte fraccionaria de los insumos de la
industria j que son producidos por la industria i.
Cada elemento de la matriz de insumo-producto está entre 0 y 1, y la suma de
los elementos de cualquier columna nunca es mayor que 1. Observemos que la matriz
insumo-producto
6
0
64
A
200 160 0.3 0.4
0.5 0.3
1 2 0 0 0 0 1 4 6 8 0 70
364 CAPÍTULO 9 INVERSAS Y DETERMINANTES