Matemáticas aplicadas

☛ 14. En el ejemplo 4, encuentre
la ecuación de la recta tangente en
a) (1, 1) b) (9, 3)
EJEMPLO 5 Determine la pendiente de la tangente y la ecuación de la recta tangente
a la gráfica y x en el punto (4, 2) y en el punto ( 1 4 , 1 2 ).
Solución En el ejemplo 3, demostramos que si f(x) x entonces f′(x) 1/2
x. Cuando x 4, f′(4) 1/24 1 .
4
Por lo que la pendiente de la tangente en
(4, 2) es 1 . 4
Para obtener la ecuación de la recta tangente, podemos utilizar la fórmula punto-pendiente
con pendiente m 1 4
que es la ecuación pedida.
y y 1
m(x x 1
)
y (x , y 1 1
) (4, 2). (Véase la figura 7). Obtenemos
y 2 1 (x
4
4)
y 1 4 x 1
y
Respuesta a) y 1 2 x 1 2
b) y 1 6 x 3 2
☛ 15. Determine la ecuación
de la recta tangente a la gráfica de
y x 2 x en el punto a) (1, 2)
b) (1, 0)
Respuesta a) y 3x – 1
b) y x – 1
1
( , 1
)
4
2
4
2
0
m = 1
m =
(2, 2)
1
4
(4, 2)
y = x
2 4 6 x
FIGURA 7
Cuando x 1 , 4 f′(1 ) 4 1/2 1 4 1. Así la pendiente de la tangente en (1 , 4 1 ) 2
es 1. (Véase la figura 7). Con base en la fórmula punto-pendiente, su ecuación es
y 1 2 1 (x 1 ) 4 o y x 1
4
☛ 14, 15
EJERCICIOS 11-3
(1-14) Calcule las derivadas de las siguientes funciones con respecto
a las variables independientes según el caso.
1. f(x) 2x 5 2. f(x) 2 5x
3. g(x) 7 4. g(t) 3
5. f(x) x 2 6. g(t) 3t 2 1
7. f(u) u 2 u 1 8. g(x) x 2 3x 7
9. h(x) 7 3x 2 10. f(x) 1/x
1
2
11. g(x) 12. h(u)
x 1
1 u
1
u
13. f(t)
14. g(u)
2t 3
u 1
15. Calcule dy/dx si:
a) y 3 2x 2 b) y 3x 7
SECCIÓN 11-3 LA DERIVADA 465