Matemáticas aplicadas

CASO DE ESTUDIO
OPTIMIZACIÓN DE COSTOS DE PRODUCCIÓN
Para el problema de minimizar el costo de producción de muebles
de cómputo, cuya función de costos variable está dada por
Costo total
55
45
35
25
V(x) 3x 3 15x 2 20x miles de dólares,
y los costos fijos, son $20,000, la función de costo total mensual
es
C(x) 20 3x 3 15x 2 20x miles de dólares,
donde x es el número de muebles, en cinetos, que se producen
en un mes.
Mediante las técnicas que se estudiaron en este capítulo se
construyó la siguiente gráfica
Costo total
35
25
15
1 2 3 4
Como puede observarse en la gráfica el costo total mínimo se
obtiene si no se producen escritorios, pero en este caso se tiene
la restricción de tener que producir al menos 50 muebles, así
que interesa analizar la gráfica a partir de x 0.5, recuerde que
las unidades son cientos
1 2 3 4
X
X
Ahora ya no es tan obvio cuál es el valor de x que minimiza el
costo total. Pero, si se aplica el método para optimizar funciones
que se analizó en este capítulo, se iniciaría obteniendo
la derivada de la función C(x) de la siguiente manera
dC(x)
9x 2 30x 20
dx
Ahora,
dC(x)
9x 2 30x 20 0
dx
55
55
implica que x 1
o bien x 2 . Por otro lado,
3
3
d 2 C(x)
18x 30
dx
2
así que,
d 2 C(x d 2 C(x 2 1
)
)
0, mientras que 0
dx
2
dx
2
Por consiguiente, el punto (x 1
, C(x 1
)) es un punto máximo local
y (x 2
, C(X 2
)) es un punto mínimo local. A continuación se presentan
los valores de la función en los extremos del intervalo
de interés, 0.5 y 4.5, junto con los valores de la función evaluados
en x 1
y x 2
C(0.5) 26.625
C
5
5 28.041
3
C
5
5 23.071
3
C(4.5) 79.625
Así que el mínimo se alcanza en x 2
2.4102. Ahora bien, si
se producen 241 muebles (x 2.41) el costo es 23.071063
miles de dólares; mientras que si se producen 242 muebles el
costo es 23.071464 miles de dólares, por lo que la decisión
debe ser producir 241 muebles para tener un costo mínimo de
$23,071.06.
Pero, si de lo que se trata es de minimizar el costo unitario,
entonces la función que se debe minimizar es
U(x) C(x) x
CASO DE ESTUDIO 591