Matemáticas aplicadas

Solución Haciendo x 1 en la fórmula válida para f(x) cuando x 1, tenemos
(1) 2 3(1) 2
1 (1) 2
1 3 2
1 1
0
0
En consecuencia, factorizamos numerador y denominador y cancelamos el factor
x 1 antes de sustituir x 1.
lím x2 3x 2 (x 1)(x 2) x 2 1 2 1
lím lím
x→1 1 x
2
2
x→1 (1 x)(1 x) x→1 1 x 1 (1)
El hecho de que f( 1) 0 es irrelevante para el límite. (Recuerde que el valor del
límite está determinado por el comportamiento de la función cerca del punto límite
c, pero no está influido en absoluto por el valor de f en c).
☛ 10. Después de los ejemplos
5 y 6, evalúe los límites
x
a) lím 2 4
x→2 x2 5x
6
b) lím 1 2
x
x→1 x 1
x
c) lím 2 3x4
x→4 2 8
x
EJEMPLO 6 Determine
1 x 1
lím
x→0 x
Solución Cuando 0 sustituye a x, obtenemos
1 0 1 0
0
0
En este caso, no podemos factorizar el numerador directamente para obtener el factor
x que es necesario con el objetivo de cancelar la x del denominador. Superamos
esta dificultad racionalizando el numerador, que se logra multiplicando numerador
y denominador por (1 x 1).*
lím
x→0
1 x 1
x
lím
x→0
lím
x→0
lím
x→0
lím
x→0
1 x 1 1 x 1
x 1 x 1
(1 x) 2 1 2 (1 x) 1
lím
x(1 x 1) x→0 x(1 x 1)
x
x(1 x 1)
1
1 x 1
1
1 2 ☛ 10
1 0 1
Obsérvese que en estos ejemplos, el límite final se evaluó por sustitución. En
realidad, los teoremas sobre límites fundamentan este procedimiento de sustitución.
Respuesta a) 4 b) 1 2 c) 20 *Véase la sección 1-5.
458 CAPÍTULO 11 LA DERIVADA