Matemáticas aplicadas

ne una línea tangente bien definida con una pendiente bien definida. Si la gráfica
presenta un pico en el punto (x, y), se sigue que f(x) no es diferenciable en tal valor
x. En el ejemplo anterior se da una de tales funciones.
EJEMPLO 8 (Impuesto sobre la renta) En el mítico país de Erehwon, los habitantes
afortunados no pagan impuesto sobre la renta en sus primeros $10,000 de
ingresos gravables.* Las tasas de impuestos graduadas para niveles de ingresos más
altos se dan en la tabla 5. Denotamos con I los ingresos gravables y con T la cantidad
gravada. Exprese T como una función de I, dibuje la gráfica de esta función y
estudie su diferenciabilidad.
TABLA 5
Ingresos gravables
Tasa de impuesto
$10,001$20,000 20%
$20,001$30,000 30%
Más de $30,000 40%
☛ 26. Existe una propuesta para
“racionalizar” la estructura de
impuestos en Erehwon gravando
con el 25% todos los ingresos
por arriba de $10,000 y hasta e
incluyendo $30,000 y con 40%
a todos los ingresos por encima
de $30,000. Construya la nueva
versión de la tabla 6 en este caso.
Solución Si 0 I 10,000, T 0. Cuando 10,000 I 20,000, la cantidad por
la cual I excede a 10,000 se grava en un 20%. Por consiguiente, en este rango,
T 0.2(I 10,000) 0.2I 2000
Cuando I 20,000, T 0.2(20,000 10,000) 2000, de modo que el impuesto
a $20,000 es de $2000.
En el caso, de que 20,000 I 30,000, la cantidad por la que I sobrepasa
20,000 se grava en un 30%. Así que, en este rango,
T 2000 0.3(I 20,000) 0. 3I 4000
Cuando I 30,000, T 0.3(30,000) 4000 5000, de modo que el impuesto es
de $5000.
Continuando en esta forma, construimos una tabla de valores de T como una
función de I (véase la tabla 6) y la gráfica aparece en la figura 17. ☛ 26
TABLA 6
Respuesta
I
I 10,000 0
10,000 30,000 0.25I 2500
30,000 5000
I 30,000 0.4I 7000
T
I
T
I 10,000 0
10,000 I 20,000 0.2I 2000
20,000 2000
20,000 I 30,000 0.3I 4000
30,000 5000
I 30,000 0.4I 7000
La gráfica consta de varios segmentos lineales. Es claro que la cantidad gravada
es una función continua de los ingresos gravables, pero no es diferenciable en
*1 Dólar de Erehwon 5 U.S. dólares.
488 CAPÍTULO 11 LA DERIVADA