Matemáticas aplicadas

☛ 29. Poniendo una restricción
adecuada al dominio de f, en cada
caso encuentre x f 1 (y):
a) f (x) (x 2) 2
b) f (x) (x 2) 4
c) f (x) (x 2 4) 2
Así que para cada valor de y en la región y 0, existen dos valores posibles de x.
En consecuencia, no podemos afirmar que x sea una función de y.
Este ejemplo se ilustra gráficamente en las figuras 36 y 37. En la figura 36
aparece la gráfica de y x 2 , que es una parábola que se abre hacia arriba. La figura
37 muestra la misma gráfica, pero con los ejes cambiados; esto es, el eje y es horizontal
y el eje x es vertical. Para cada y 0, tenemos dos valores de x, x y
y x y; por ejemplo, cuando y 1, x tiene el valor 1 y 1, ambos de los cuales
satisfacen la relación y x 2 .
x 1
x y
y
y 1 y x 2
0
y 1
y
x 1 0 x 1
x
x 1
x y
FIGURA 36 FIGURA 37
Respuesta
a) x 2 y
si el dominio es x 2; x 2 y
si el dominio es x 2
b) x 2 4 y si x 2;
x 2 4 y si el dominio es x
2
c) x 4 y si x 2
x 4 y si x 2
x 4 y si 0 x 2
x 4 y si 2 x 0
La gráfica de la figura 37 corresponde a dos funciones. La rama superior de
la parábola es la gráfica de x y, mientras que la rama inferior es la gráfica
de x y. Así que, podemos decir que la función y x 2 tiene dos funciones inversas,
una dada por x y la otra por x y.
En un caso como éste, es posible definir f 1 sin ambigüedad alguna restringiendo
los valores de x. Por ejemplo, si x se restringe a la región x 0, y x 2 tiene
una inversa única x y. Por otra parte, si x se restringe a la región x 0, la
inversa está dada por x y. Hacer una restricción sobre x en esta forma significa
restringir el dominio de la función original f. Concluimos, por tanto, que en
casos en que una función f (x) tiene más de una función inversa, la inversa puede hacerse
única efectuando una restricción apropiada sobre el dominio de f. ☛ 29
Vale la pena observar que una función f (x) tiene una inversa única siempre
que cualquier línea horizontal intersecte su gráfica en a lo más un punto.
EJERCICIOS 5-5
(1-14) Determine la función explícita o funciones que corresponden
a las siguientes relaciones implícitas.
1. 3x 4y 12 2. 5x 2y 20
3. xy x y 0 4. 3xy 2x 4y 1
5. x 2 y 2 x y 0 6. x 2 y xy 2 x y 0
7. x 2 y 2 2xy 4 8. 9x 2 y 2 6xy 25
9. 4x 2 9y 2 36 10. 4x 2 9y 2 36
11. x y 1 12. xy 2 yx 2 6
214 CAPÍTULO 5 FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS