Matemáticas aplicadas

☛ 6. En las figuras 7 u 8, dibuje
las rectas de indiferencia que
correspondan a una utilidad de
$3000 y $5000 semanales. ¿Estos
niveles de utilidad son factibles
Por otra parte, consideremos P 6000. Los valores correspondientes de x y
y deben satisfacer 200x 160y 6000, que otra vez es la ecuación de una línea
recta, esta vez corta los ejes de coordenadas en los puntos (30, 0) y (0, 37.5). Esta
línea recta no pasa por la región sombreada de soluciones factibles (véase la
figura 8) y, por ello, no le es posible a la empresa obtener una utilidad tan grande
como $6000 a la semana. La utilidad máxima posible debe estar en algún lugar entre
$4000 y $6000 a la semana.
El conjunto de puntos (x, y) que conducen a una utilidad dada P satisfacen la
ecuación 200x 160y P. Esta ecuación, para P fija, tiene como gráfica una línea
recta en el plano xy llamada línea de utilidad constante o recta de indiferencia.
Las dos líneas que aparecen en la figura 8 son líneas de utilidad constante que corresponden
a los valores P 4000 y P 6000. ☛ 6
La ecuación de una línea de utilidad constante puede escribirse en la forma
160y P 200x o bien y 5 4 x
P
160
Por tanto, la línea tiene pendiente 5 4 y ordenada al origen P/160. Es una propiedad
importante que la pendiente de cualquier línea de utilidad constante sea la misma
sin importar el valor de P. Esto significa que todas las líneas de utilidad constante
son paralelas entre sí. A medida que el valor de P se incrementa, la línea de
utilidad máxima correspondiente se aparta del origen (la ordenada al origen aumenta),
siempre con la misma pendiente.
Para obtener la utilidad máxima, debemos alejar la línea de utilidad constante,
del origen hasta que sólo toque el extremo de la región de soluciones factibles.
Es claro por la figura 9 que la línea de utilidad máxima es la que pasa por la esquina
C situada en la frontera de la solución factible. Los valores de x y y en C dan los
volúmenes de producción de los dos productos X y Y que conducen a la utilidad máxima.
40
y
P 6000
Respuesta $3000 es factible, pero
la recta de $5000 no interseca la
región factible.
y
20
P 4000
40
P 5000
C
20
P 3000
0
20
40
x
20 40
x
FIGURA 9
410 CAPÍTULO 10 PROGRAMACIÓN LINEAL