Matemáticas aplicadas

y
y f(x)
f (x)
f (x 2 )
f (x 1 )
0 x 1
x 1
x
0 x 1
x 2
x
FIGURA 13 FIGURA 14
ces la gráfica de f debe tener la forma general que se muestra en la figura 13. Tiene
que ascender hacia la derecha y la pendiente se hace cada vez más pronunciada conforme
aumenta x.
Analicemos ahora una función f cuya gráfica tiene la forma que se observa en
la figura 15. La pendiente de la gráfica es negativa, f(x) 0, por lo que f es una
función decreciente. Además, la gráfica que se muestra tiene la propiedad de que
cuando nos movemos hacia la derecha la pendiente se hace menos pronunciada.
Esto es, conforme x aumenta, la derivada f aumenta a partir de valores negativos
grandes hacia cero, como se indica en la figura 16.
y
f (x)
0 x 1
x 2
0 x 1
x 2
y f(x)
x
f (x 2 )
f (x 1 )
x
FIGURA 15 FIGURA 16
Nuevamente, f, aunque negativa, es una función creciente de x y esto garantiza
si f(x) 0. Así pues, si f(x) 0 y f(x) 0, entonces la gráfica de f debe
tener la forma general que se muestra en la figura 15. Debe inclinarse hacia abajo a
la derecha y la pendiente se hace menos pronunciada conforme x aumenta.
La propiedad geométrica que caracteriza ambos tipos de gráficas es que son
cóncavas hacia arriba.* Concluimos, por tanto, que si f(x) 0 en algún intervalo,
entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en ese intervalo.
*Una curva es cóncava hacia arriba si dados dos puntos sobre la curva el segmento rectilíneo que los
une queda por completo por encima de la curva. Una curva es cóncava hacia abajo si tal segmento rectilíneo
siempre queda por debajo de la curva.
544 CAPÍTULO 13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS