Matemáticas aplicadas

3ky 2/3 (y1/3 m
y 1/3 )
12. dy/dt y/t; y e cuando t 0
dy
dt
13. dy/dt 3t 2 y; y 2 cuando t 0
dy My
dt K y
14. dy/dx y(y 1), y 1; y 2 cuando x 0
15. dy/dt 2y(3 y), 0 y 3; y 2 cuando t 0
16. 2 dy/dt y(4 y), y 4; y 2 cuando t 0
17. dy/dt te ty ; y 0 cuando t 0
18. du/dy e uy ; u 0 cuando y 0
19. (Elasticidad) La elasticidad de la demanda para cierto bien
es 2 .
3
Determine la relación de demanda p f(x), si
p 2 cuando x 4.
20. (Elasticidad) La elasticidad de la demanda para cierto bien
está dada por 2. Determine la función de demanda
p f(x), si p 1
2
cuando x 4.
21. (Elasticidad) La elasticidad de la demanda para cierto bien
está dada por (x – 200)/x. Determine la función de demanda
p f(x), si 0 x 200 y p 5 cuando x 190.
22. (Elasticidad) La elasticidad de la demanda es p/(p –
10). Determine la función de demanda p f(x), si 0 p
10 y p 7 cuando x 15.
23. (Bioquímica) De acuerdo con la ecuación de Michaelisdy
dt
py(2000 y)
Menten, la velocidad a la que ocurre una reacción de enzimas
está dada por
dy
ky(n y)
dt
en donde M y K son constantes y y es la cantidad del sustrato
presente en el instante t que será transformado por la
enzima. Determine una ecuación implícita para expresar y
como una función de t.
24. (Modelo de crecimiento limitado) El modelo de crecimiento
limitado de von Bertalanffy puede obtenerse a partir de
la ecuación diferencial
Determine una expresión para y como función de t. (Sugerencia:
Sustituya y 1/3 u en la integral que se evaluará).
25. (Modelo logístico) En un pueblo cuya población es 2000,
la propagación de una epidemia de influenza sigue la ecuación
diferencial
en donde y es el número de personas infectadas en el instante
t (t se mide en semanas) y p 0.002. Si inicialmente
dos personas estaban enfermas, encuentre y como una
función de t. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que tres cuartos
de la población esté infectada
26. (Modelo logístico) Podemos construir un modelo sencillo
de la propagación de una infección a una población de la
siguiente manera. Sea n el número total de individuos susceptibles
(i.e., no inmunes) en la población original. Sea
y(t) el número de individuos infectados en el instante t. Entonces
n y(t) proporciona el número de susceptibles que
permanecen sin infectarse. El modelo consiste en formular
en donde k es una constante. (Observe que dy/dt es la velocidad
de propagación de la infección). Determine la solución
para y como una función de t, y haga un bosquejo
de su gráfica.
27. (Modelo logístico) Una población que está creciendo de
acuerdo con la ecuación diferencial dy/dt 0.1y(1
10 6 y) cuando t se mide en años. ¿Cuántos años le tomará
a la población aumentar desde un tamaño inicial de 10 5 a
un tamaño de 5 10 5
16-8 APLICACIONES A PROBABILIDAD (SECCIÓN OPCIONAL)
La probabilidad se ocupa de observaciones o mediciones tomadas de situaciones en
que el resultado tiene algún grado de impredicibilidad. En tales casos empleamos el
término variable aleatoria para denotar una variable, cuyo valor medido puede variar
de una observación a otra. Por ejemplo, si se lanza un dado estándar, el número
de puntos que aparecen es una variable aleatoria; la cara que cae hacia arriba puede
mostrar cualquiera de los valores 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
En contraste con esto, se presentan muchas situaciones u observaciones en
que la variable aleatoria puede tomar cualquier valor de un conjunto de valores con-
704 CAPÍTULO 16 LA INTEGRAL DEFINIDA