Matemáticas aplicadas

de la función es la quinta potencia y la parte interior es (x 2 1). Al evaluar y para
un valor particular de x, debemos evaluar en primer término la parte interior, x 2
1, y luego elevar a la quinta potencia. Por ejemplo, si x 2, entonces la interior
x 2 1 2 2 1 5 y y (interior) 5 5 5 3125.
Al derivar una función compuesta, debemos derivar primero la capa exterior
de la función, y después multiplicar por la derivada de la parte interior. En estos términos
verbales podemos reformular la regla de la cadena en la siguiente forma:
Si y f(interior), entonces d y
f (interior) (derivada del interior con respecto
a x)
dx
Si y (interior) n , entonces d y
n(interior)
dx
n1 (derivada del interior con respecto
a x)
Aquí interior significa cualquier función diferenciable de x.
Por ejemplo, volviendo a y (x 2 1) 5 , pudimos tomar el interior como x 2 1
y y f (interior) (interior) 5 . Se sigue de inmediato que
lo que da la misma respuesta que antes.
d y
5(interior) 4 d
(interior)
dx
d x
5(x 2 1) 4 d
(x 2 1) d x
5(x 2 1) 4 2x 10x(x 2 1) 4
EJEMPLO 2 Dada f (t) 1/t 2 3, calcule f (t)
Solución Sea u t 2 3, de modo que y f (t) 1/u u 1/2 . Se sigue que
d u
dy
2t y 1 dt
2 u3/2 1 2 (t2 3) 3/2
du
SECCIÓN 12-2 LA REGLA DE LA CADENA 505
Así que, por la regla de la cadena,
d y dy
dt
du
du
dt
1 2 (t2 3) 3/2 2t t(t 2 3) 3/2
En forma alternativa, podemos resolver directamente,
1
f (t) (t 2 3) 1/2
t2 3